Valeur d'adhérence

[stitch]

bonjour tt le monde et bonne rentrée,
voila j'ai un petit exercice:
xn est une suite, x0 = 0, x1=1, x2=1/2, x3=1/3, x4=2/3, x5=1/4, x6=3/4, x7=1/5 etc...
pk tout point de [0,1] est valeur d'adhérence de cette suite ?
merci pour votre aide (et bon dimanche)

[neibaf]

Bonjour,

ce n'est pas très clair. Comment évolue ta suite ? est ce que ça fait 2/5 ; 3/5;4/5 ? ou pas ?

Si oui, c'est donc une suite qui prend toute les fractions entre 0 et 1, hors Q est dense dans R, donc c'est bon.

[stitch]

salut neibaf,
oui c'est ça (2/5 3/5 4/5 1/6 2/6 etc...)
mais je ne comprends pas trop pk c'est " bon " ? :hein:
merci

[neibaf]

ben, ta suite prend toute les valeurs de Q entre 0 et 1, et Q est dense dans R, donc en particulier si tu prends Q inter [0;1] c'est dense dans R inter [0;1] soit [0;1], donc toute valeur de [0;1] est valeur d'adhérence pour ta suite.

[stitch]

salut,
je ne suis pas sur de bien connaitre la definition d'une valeur d'adhérence alors !
je pensais que la valeur d'adherence etait la limite d'une sous-suite, donc dans ce cas on a une infinité de sous-suite qui convergent toutes vers tout les points de l'intervalle reel [0,1] ? comment voit on ça ?
merci pour votre aide.

[neibaf]

Si tu préfères (mais j'explique avec desmots, pas le temps de démontrer, je te laisse le sion de mettre ça au propre), si tu prends un élément x de [0;1], une petite boule aussi petite que l'on veut autour de x, il y aura toujours un nombre rationnel dans cette petite boule (densité de Q dans R), donc, comme ta suite prend tous les éléments rationnels, tu vas pouvoir extraire une suite qui converge vers ton x (tu prends des diamètres de plus en plus petits...)

[stitch]

ok merci bcp! :++: