Urgent petit pb de réduction !

[mchevall]

J'ai cet exercice de khôlle à résoudre mais je n'y arrive pas. Enfin, plus, parce que ça fait quelques mois que je ne suis plus en prépa !

Donner toutes les matrices de M3(R) (matrices réelles de dimension 3) vérifiant :

M3+M=0

Merci d'avance,

[yos]

Bonsoir.
Disposes-tu du théorème de décomposition des noyaux?

[mchevall]

Oui, je dispose de tous les outils de maths sup et spé filière MP.

[yos]

Si tu vois ta matrice dans C, elle est diagonalisable car annulée par un polynôme à racines simples. Le spectre est inclus dans {0,i,-i}. Donc soit c'est la matrice nulle, soit elle a une valeur propre non nulle (i ou -i) mais comme la matrice est réelle, le spectre est stable par conjugaison, donc elle a les deux vp i et -i et de plus les ep correspondants ont même dimension, donc ta matrice est de rang 2 avec les trois vp 0,i,-i.
On prend x dans kerM, y pas dans kerM et z=My : tu peux vérifier que (x, y, z) est une base et que la matrice dans cette base est N=
000
00-1
010
Inversement toute matrice semblable à ça marche.
En résumé
M semblable à N ou M=0