Réduction de Jordan !

[barbu23]

Bonjour :
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer en detail comment on applique la reduction de Jordan à une matrice quelconque ... Par exemple, c'est quoi la réduite de Jordan de la matrice : dans ?
J'ai presque oublié complètement ce cours sr la réduite de Jordan d'une matrice que j'ai fait il y'a 3 ans à la fac ! et j'aimerai que quequ'un me l'explique clairement !
Merci infiniment !

[XENSECP]

Ça se base sur le pivot de Gauss ;)

[Joker62]

Y'a une méthode qui se fait avec la théorie des modules c'est extrêmement joli à voir :)
Bon te l'expliquer faut pas rêver non plus mais faut savoir qu'elle existe :D

[barbu23]

Bon te l'expliquer faut pas rêver non plus mais faut savoir qu'elle existe

:doh:

[Nightmare]

Salut :happy3:

Il me semble qu'une fois que tu as les valeurs propres, ma réduite s'en déduit assez rapidement !

[Nightmare]

Pour ce qui est de la réduction via les modules, je crois que l'idée est de prolonger la structure de k-ev en une structure de k[[x]]-module où f serait une homothétie par rapport à x.

notre k[[x]]-module est isomorphe à une somme directe du quotient de k[[x]] par des . En écrivant les matrices de f dans les bases canoniques de ces quotients il me semble qu'on obtient les blocs de Jordan.

:happy3:

[Joker62]

En gros oui :)
On obtient pas mal de ptite relations sympatoche.
Ca m'étonne quand même que TA réduite soit si complexe à travailler :p

[Nightmare]

c'est vrai qu'elle est plus complexe que la dia/trigonalisation. Enfin, les 3 sont inintéressantes vu qu'elles ne parlent pas d'analyse complexe :lol: :lol3:

[Antho07]

Oui dimension de l'espaces propre donne le nombre de blocs de jordan associé à cette valeur propre , la multiplicité de cette derniere dans le polynome minimal donne la taille du plus grand blocs.

L'existence et l'unicité à permutations des blocs pres de la réduite de Jordan d'une matrice dont le polynome caracteristique est scindé est assez fastidieuse.
Il faut travailler d'abord sur les matrices nilpotentes et sur la suite des noyaux itérée en montrant l'existence de supplémentaires sur lesquels l'endomorphisme est injectif.

Plus "concretement" , si u est un endomorphisme nilpotent d'indice p
alors il existe des sous espaces vectoriel Gi tels que


Apres il faut prendre une base de G(p-1) puis appliquer u, on obtient une famillee libre de G(p-2) que l'on complete en une base etc.... on s'arrete Apres avoir epuise tout les G

En organisant tous ces vecteurs correctement on obtient la réduite de Jordan.


Apres c'est du jordan-Dunford pour passer au cas général

[barbu23]

Bonsoir :
Merci à vous tous pour vos reponses " Antho07 ", "Nightmare" et d'autres !
Connaissez vous un lien internet ( en format pdf ), où on explique en detail tout ce qui a rapport avec la reduction des endomorphismes muni quelques exos d'applications simples et leur corrigés ?
Merci d'avance de votre aide !

[yos]

Par exemple, c'est quoi la réduite de Jordan de la matrice : dans ?

A^2=0 donc 0 est la seule vp. rg(A)=1 donc l'ep associé à 0 est de dim 2, donc la réduite de Jordan est

[sniperamine]

barbu j'ai un document sur la réduction des endomorphismes je ne sais si ça pourrait t'intéresser files moi ton mail en PV

[barbu23]

A^2=0 donc 0 est la seule vp. rg(A)=1 donc l'ep associé à 0 est de dim 2, donc la réduite de Jordan est

Salut "yos" :
Tu peux m'expliqer comment on obtient la matrice de passage de de ?
Merci infiniment !

[Antho07]

Prend un vecteur

Prend

Prend un dernier vecteur dans tels que

soit une base