Union de sous groupe d'un groupe

[protozik10012]

Bonjour tout le monde,

J'ai une question qui me dérange un peu, Est-ce que la réunion de sous-groupe d'un groupe G est un sous

groupe ?

Sinon vous pouvez me donner un contre-exemple?

Merci

[aviateur]

Bonjour
Evidemment non. G=Z/4Z , G2={0,1} G2={0,2,4} et la réunion de G1 et G_2 n'est pas un groupe

[Ben314]

Salut,

Tu rigole où c'est une vrai question ?

Si c'est une vrai question, je te signale qu'un -espace vectoriel, c'est en particulier un groupe (pour la loi +) et qu'un sous-espace vectoriel, c'est évidement un sous-groupe.
Ensuite, j'espère que tu sait que dans l'e.v. , les sous espaces vectoriels, c'est le singleton tout entier et les droites vectorielles (c'est à dire les droites passant par (0,0)).
Question : est-ce que la réunion de deux droites (vectorielles distinctes) est égale à ?
est égale à tout entier ?
est égale à une droite ?

[Ben314]

Bonjour
Evidemment non. G=Z/4Z , G2={0,1} G2={0,2,4} et la réunion de G1 et G_2 n'est pas un groupe

Tu aurait pas un peu picolé ce soir par hasard ?
Parce que là, il y a quasiment pas un seul caractère placé où il faut dans ton laïus : les deux sous groupes s’appellent tout les deux G2 ; le premier c'est pas un sous groupe ; le deuxième contient deux fois le même élément (4=0 dans Z/4Z)
En fait y'a quasiment que le "évidement non" du début qui est bon...

[protozik10012]

Question : est-ce que la réunion de deux droites (vectorielles distinctes) est égale à ?
est égale à tout entier ?
est égale à une droite ?

Bonjour Ben,

Deux droites vectorielles distincts,leurs réunion devrait être l'espace entier car géometriquement si on a deux droites distincts alors on a 2 vecteurs directeurs qui oriente le plan.

Je pourrais savoir quel est le rapport de cette question avec la mienne?

Merci

[pascal16]

les combinaisons linéaires de vecteurs de deux droites vectorielles non confondues engendre bien un plan.

l'union contient bien les cl du type ax1+by1 et ax2+by2 où x1,y1€ premier ss ev ; x2,y2€ second ss ev et a,b€ K, le corps de base.
mais oublie les ax1+by2 et ax2+by1

[hdci]

Deux droites vectorielles distincts,leurs réunion devrait être l'espace entier car géometriquement si on a deux droites distincts alors on a 2 vecteurs directeurs qui oriente le plan.

Bonjour,

Vous faites une confusion : la réunion de deux droites, c'est exactement deux droites (donc une "croix"). Vous confondez avec la somme vectorielle de deux droites qui est le sous-espace vectoriel engendré par les deux droites (qui du coup contient beaucoup plus que les deux droites si celles-ci ne sont pas confondues).

Pour rappel, la définition de , c'est ssi ( ou )

[aviateur]

Bonjour
Evidemment non. G=Z/4Z , G2={0,1} G2={0,2,4} et la réunion de G1 et G_2 n'est pas un groupe

Tu aurait pas un peu picolé ce soir par hasard ?

Non pas du tout. En général c'est avec des amis et là pas question de faire de math.
Ici vraiment je ne sais pas ce que j'ai fait. J'ai voulu ne pas me compliquer la vie avec les e-v mais alors !!!(ça doit être le film qui a détourné mon attention)

Dans ce cas on prend
2 et 3 sont dans la réunion mais pas 5=2+3

[hdci]

Pour donner un autre contre exemple hors espace vectoriel, dans les sous-groupes additifs de : ces sous-groupes sont de la forme .

Prenons alors et : comme et , on a .

Pourtant et
Comme on en déduit que l'addition n'est pas stable dans

[hdci]

(croisé avec aviateur )

[Ben314]

Si j'ai pris l'exemple des espaces vectoriels, c'est non seulement du fait qu'il est extrêmement visuel (si on trace deux droites sur un tableau, c'est on ne peut plus clair que ça ne rempli pas le tableau) mais aussi (voire surtout) du fait que la preuve classique du fait que la réunion de deux s.e.v. ne peut être un s.e.v. que si l'un des deux est contenu dans l'autre n'utilise en fait que la structure de groupe donc le résultat perdure pour les sous groupes :
La réunion de deux sous groupes ne peut être un sous groupe que si l'un des deux est contenu dans l'autre.