Union d'ensembles convexes

[nicky]

Bonjour,

Quelqu'un sait-il si une union d'ensembles convexes (d'un espace euclidien) est une union finie et DISJOINTE d'ensembles convexes? Si oui, où peut-on trouver la preuve?

Personnellement, j'ai l'impression que c'est vrai et j'ai essayé de le démontrer au moins dans le plan en me limitant à la réunion de deux corps convexes (le cas général ne devrait pas poser davantage de problème). Tout d'abord, on peut supposer qu'aucun des deux corps convexes ne contienne l'autre et que leur intersection soit d'intérieur non vide (pour éviter le cas où on aurait deux carrés adjacents par exemple). Je souhaite alors montrer:
1) que l'intersection des frontières est un ensemble fini (par compacité) de cardinal 2 ou 4.
2) qu'on peut écrire la réunion de ces deux corps convexes comme une réunion de deux ou quatre convexes disjoints selon que l'intersection des frontières est de cardinal 2 ou 4.

J'attends vos réponses qui me seront d'un secours précieux.
Merci d'avance,

Nicolas.

[girdav]

Quelqu'un sait-il si une union d'ensembles convexes (d'un espace euclidien) est une union finie et DISJOINTE d'ensembles convexes? Si oui, où peut-on trouver la preuve?

Bonjour,
je ne suis pas sûr de bien comprendre. Si on considère muni de la norme euclidienne et une infinité de boules (convexes donc) disjointes, on ne pourra pas l'écrire comme réunion finie d'ensembles convexes disjoints.
Il doit manquer une condition à l'union des ensembles convexes.

[Doraki]

Si on doit faire la réunion de 2 convexes,
l'intersection des frontières peut ne pas être finie
(ex, dans C : C1 = enveloppe convexe de 1 et des e^(i pi / (2n)) ; C2 = enveloppe convexe de 1 et des e^(i pi / (2n+1)))
Et dans ce cas là, on ne peut pas écrire leur réunion comme union finie disjointe de convexes.

Mais sinon, si l'intersection des frontières est finie, on découpe les deux convexes en traçant des segments entre ces points d'intersections, et ça devrait marcher.