Union de convexes, convexe ?

par **azboul** » 13 Jan 2008, 18:51

Bonjour à tous,

Voici mon énoncé,

Soit E un evn.
Soient A,B dans E tels que A et B convexes.
Montrer que l'union des segments joignant deux points arbitraires de A et B est convexe.

(j'avais déjà eu ce problème avec la connexité).

On a X convexe qlq soit x,y dans X, [x,y] est dans X.

Je visualise bien comment procédé et sur quoi je dois retomber.
Voici comment je m'y prends :

Je prends z dans [x,y] (avec x dans [a1,b1] et y dans [a2,b2] et a1,a2 dans A et b1,b2 dans B) et je veux montrer que z est dans [a3,b3] avec a3 dans A et b3 dans B.
Je passe bien entendu par z = tx + (1-t)y (idem avec x pour [a1,b1] et y pour [a2,b2]).
Seulement impossible de retomber sur quelquechose du genre :
z = t'a3 + (1-t')b3...

:briques:

Quelqu'un peut-il m'aiguillonner ?
Merci d'avance.

par **nuage** » 13 Jan 2008, 19:00

Salut,
pour montrer qu'un ensemble X est convexe il suffit de montrer que :
Quelques soient les points a et b dans X le segment [ab] est dans X.
Ici c'est assez facile :
Il y a 3 cas possibles

a et b sont dans A
a et b sont dans B
a est dans A et b est dans B

Chacun d'eux est facile à traiter.

remarque : il est clair que A et B sont inclus dans l'ensemble donné.

par **tize** » 13 Jan 2008, 19:04

nuage a écrit:Il y a 3 cas possibles
a et b sont dans A
a et b sont dans B
a est dans A et b est dans B

Bonjour,
d'après l'énoncé on peut avoir a ou b dans

non ?

par **azboul** » 13 Jan 2008, 19:12

En fait pour les deux premier cas c'est réglé c'est le troisième qui me gène...

par **tize** » 13 Jan 2008, 19:22

azboul a écrit:En fait pour les deux premier cas c'est réglé c'est le troisième qui me gène...

il n'y a pas que trois cas, on a pas forcément a dans A ou B...

par **azboul** » 13 Jan 2008, 20:04

Exact Tize c'est ce que je voulais dire mais j'ai lu trop vite, il y a aussi le cas où on prend x dans un segment [a1,b1] et y dans [a2,b2]... C'est celui-ci qui me gêne !
Pour les autre cas (presque triviaux) j'ai résolu le probleme.
Donc si quelqu'un peu m'éclairer...

par **nuage** » 13 Jan 2008, 20:09

tize a écrit:Bonjour,
d'après l'énoncé on peut avoir a ou b dans non ?

C'est vrai.
Et j'ai oublié ce cas, peut-être parce que c'est le seul qui pose problème. :briques:

Je reviens un peu plus tard.

par **tize** » 13 Jan 2008, 21:45

je vous propose ceci, avec les notations d'azboul :

avec

et

avec

et

Donc:

Je vais chercher

et

tel qu'il existe

avec

c'est à dire :

Soit par identification :

Le système m'a l'air OK, on peut montrer facilement que

, je trouve :

Et on a donc bien

qui appartient à un segment d'extrémités dans

. L'union des segments joignant deux points arbitraires de A et B est donc bien convexe.

par **azboul** » 14 Jan 2008, 10:03

OK merci beaucoup tize !
J'avais les deux équations mais j'avais pas pensé à l'identification termes à termes... Maintenant c'est clair pour moi !
Merci encore !
@+

par **tize** » 14 Jan 2008, 10:06

De rien :we:
A+

Union de convexes, convexe ?

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