Une transformation

par **aviateurpilot** » 13 Juil 2006, 16:09

salut
je veus une transformation qui transforme un cercle a une droite.

merci d'avance

par **Nightmare** » 13 Juil 2006, 16:12

Bonjour

Une inversion ?

par **aviateurpilot** » 13 Juil 2006, 16:15

f(z)=? pour M(z)

par **Nightmare** » 13 Juil 2006, 16:19

f(z)=1/z, d'où le nom

En langage affine :

L'inversion de pôle O et de puissance k est l'application qui transforme tout point M différent de O en un point M tel que :

et

:happy3:

par **yos** » 13 Juil 2006, 16:27

Allons bon, tu étais en TS cette année non? Mais peut-être que tu faisais spémath, cela pourrait expliquer que tu n'as pas vu l'exo 3 qui porte sur une inversion et qui fait à peu près ce que tu dis.
On se donne un point O et un réel k>0. L'inversion de pôle O et de puissance k transforme tout point M différent de O en M' tel que M' appartienne à [OM) et OMXOM'=k.
On montre assez facilement qu'un cercle passant par O (et privé de O) a pour image une droite (perpendiculaire au diamètre qui passe par le pôle).
Cela ne répond pas exactement à ta question mais il faut bien voir que si on n'enlève pas un point du cercle, on a un problème de limite et donc de continuité de la transformation.
Autre démarche possible :

transforme la droite réelle en un cercle, mais ce n'est pas une transformation du plan.

par **yos** » 13 Juil 2006, 16:28

Nightmare a écrit:f(z)=1/z,

un sur z "barre" pour avoir ce que tu dis.

par **aviateurpilot** » 13 Juil 2006, 16:30

yos a écrit:Allons bon, tu étais en TS cette année non?

tu parle à moi ou à Nightmare?

par **Chimomo** » 13 Juil 2006, 16:46

Il y a également la projection stéréographique qui a un cercle privé d'un point fait correspondre une droite.

par **quinto** » 13 Juil 2006, 16:59

Chimomo a écrit:Il y a également la projection stéréographique qui a un cercle privé d'un point fait correspondre une droite.

Mais elle ne transforme pas un cercle en une droite ...
En revanche, l'exponentielle envoie (continûment) la droite iR sur un cercle, et on peut se débrouiller à partir de celà pour avoir ce que l'on cherche.

Sinon le mieux est quand même de passer par les homographies, comme le fait nightmare par exemple.

a+

par **Chimomo** » 13 Juil 2006, 17:12

Je disais ça pour faire entre remarquer qu'il n'avait pas précisé qu'il voulait une transformation qui transforme un cercle DU PLAN en une droite DU PLAN.

Je sais que je suis chipoteur, mais je dit ça pour faire une parenthèse.

par **quinto** » 13 Juil 2006, 17:16

Que ce soit dans le plan ou non, un cercle est un cercle, je ne vois pas trop le but de cette remarque ...

par **aviateurpilot** » 13 Juil 2006, 17:32

peut etre qu'il veut que la droit et le cercle sont du meme plan

par **Chimomo** » 13 Juil 2006, 17:38

La projection stéréographique transforme un grand cercle d'une sphère en droite d'un plan tangent à la sphère. C'est là l'intérêt de la remarque. Cette transformation n'est pas une transformation du plan mais de l'espace en fait.

par **quinto** » 13 Juil 2006, 20:59

Chimomo a écrit:La projection stéréographique transforme un grand cercle d'une sphère en droite d'un plan tangent à la sphère. C'est là l'intérêt de la remarque. Cette transformation n'est pas une transformation du plan mais de l'espace en fait.

Heu, je ne vois toujours pas ...
La projection stéréographique peut être faite en dimension quelconque.
Tu peux prendre un cercle du plan et projeter ton cercle sur ta droite + un point.

D'ailleurs il ne faut pas oublier que la projection stéréographique relie un cercle et une droite + un point ou une droite et un cercle moins un point, mais ne relie pas la droite et le cercle.
C'est somme toute logique puisqu'une telle projection est un homéomorphisme et la droite et le cercle ne sont pas homéomorphe.

a+

par **Chimomo** » 14 Juil 2006, 10:25

En effet mais ce que je veux dire c'est que la transformation demandée à la base était une transformation du plan et moi j'aidonné une transformation de l'espace (parceque je projetais sur un plan). Et j'ai précisé qu'il manquerais un point. Mais pour l'inversion il manque un point aussi.

par **quinto** » 14 Juil 2006, 13:01

Effectivement, pour l'inversion il manque encore un point (toujours pour les mêmes raisons topologique)
C'est pour celà qu'il faut chercher du coté des applcations qui ne sont pas bicontinues.
L'exponentielle fait l'affaire puisqu'elle envoie la droite sur le cerclede manière continue (mais non bicontinue puisque non bijective)

En fait si on veut vraiment envoyer le cercle sur la droite et non l'inverse, on peut modifier un peu le log et avoir ce que l'on cherche.

a+

par **quinto** » 14 Juil 2006, 13:02

ps: elle envoie la droite iR sur le cercle unité pour être exact.
Ce n'est pas n'importe quel cercle qu'elle transforme.

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