Oui, c'est bien la même chose :
Si on note
\|\!\leq\!\lambda \|x\|\})
\|)
(en virant les indices sur les normes et en notant
l'application linéaire)
Alors
(1) La définition de
demande déjà à elle seule une preuve vu qu'elle parle de
minimum (i.e. de valeur
atteinte) (alors que l'autre définition parle de
borne sup pas forcément atteinte).
Mais il est clair que l'ensemble
\|\!\leq\!\lambda \|x\|\})
, s'il n'est pas vide (*) est un intervalle de la forme
ou
(car tout élément plus grand qu'un élément de A est lui aussi dans A).
Dans les deux cas, on a donc
\|\!\leq\!\lambda \|x\|)
et on vérifie (en permutant les quantificateurs) que cela implique que
\|\!\leq\!a\|x\|)
ce qui montre que A est de la forme
et qu'il admet bien un plus petit élément.
Une fois cela acquis, par définition de
, on a
\|\!\leq\!N_1 \|x\|)
ce qui, dans le cas où
nous dit que
\|\!\leq\!N_1)
ce qui prouve que
(2) Réciproquement, pour tout
non nul,
est un vecteur (de
) de norme 1 donc
\Big\|\!\leq\!N_2)
(par définition de
) ce qui, vu que
est linéaire signifie que
\Big\|\!\leq\!N_2)
soit encore
\|\!\leq\!N_2)
et donc
\|\!\leq\!N_2||x||)
cette dernière inégalité étant aussi trivialement vérifiée si
est le vecteur nul.
Vu la définition de
, cela signifie que
(*) Cas correspondant à une application linéaire
non continue que je n'ai pas envie de détailler.
