Différentiabilité d'une norme

[MacManus]

Bonsoir.

Soient E un espace vectoriel normé et l'application

Dans le cas et , on montre facilement que N n'est pas dérivable en 0.

Dans le cas général, j'aimerais montré que N n'est jamais dérivable en 0.

Pour cela, j'ai considéré , et j'ai supposé que si cette norme était dérivable en a, on aurait (au sens de Fréchet) :
, où ( , ) représente le produit scalaire sur R et

Ou simplement, si je considère , alors en x=0, le taux d'accroissement est . Mais comment continuer ...?

Je ne sais pas si c'est la bonne façon de voir les choses, et surtout, je ne vois pas trop comment aboutir.

Merci beaucoup pour votre aide.

[Nightmare]

Salut,

si N était différentiable en 0, il existerait une unique forme linéaire f telle que N(h)=f(h)+o(||h||).

Si l'on choisit x unitaire, alors pour tout t dans ]0;1[ , ||tx||=t||x||=t=tf(x)+t.o(t||x||)

donc f(x)+o(t||x||)=1 et en faisant tendre t vers 0, on a que f est une forme linéaire qui envoie tout vecteur unitaire sur 1, ce qui est impossible.

[MacManus]

Ah j'ai peut-être une solution.

Si je considère l'application N définie sur l'e.v.n E (par exemple E = ). Supposons par l'absurde que N soit différentiable en (au sens de Fréchet). Alors il existe une unique application linéaire telle que, pour tout h de E non nul, on ait :

, avec .
cad :
On en déduit que , or étant linéaire, on a

On aboutit donc a une contradiction. Ce qui justifierait que N n'est pas différentiable en 0...

[Ben314]

Ca me parrait parfaitement correct.
Tu peut aussi constater que, dans ta preuve, tu n'utilise au fond qu'une seule "direction" (celle de h) ce qui permet de voir qu'en fait tu est en train de (re)faire la preuve que t->|t| n'est pas dérivable sur R...
En fait, si une norme ||.|| était différentiable en 0 alors elle le serait aussi sur un s.e.v. de E de dim 1 donc isomorphe à R sauf que sur R, les seules normes sont les t->a|t| avec a>0 qui ne sont pas différentiables.

[MacManus]

donc f(x)+o(t||x||)=1 et en faisant tendre t vers 0, on a que f est une forme linéaire qui envoie tout vecteur unitaire sur 1, ce qui est impossible.

Il n'y a pas de t , si ? (dans le petit o)

En tout cas merci pour cette belle démo , plus élégante. J'ai compris.
Merci beaucoup Nightmare :happy3:

[Nightmare]

Oui, o(t||x||)=t o(||x||) (le petit o dépend de x)

[Ben314]

Il n'y a pas de t , si ? (dans le petit o)

C'est plutôt le ||x|| qui ne sert à rien vu que ||x||=1.
Par contre le t est indispensable et, vu qu'on applique la formule
||h||=f(h)+o(||h||) à h=tx, il vient du fait que ||tx||=|t| ||x|| et du fait que dans un "o", la valeur absolue ne sert à rien.

[MacManus]

En fait, si une norme ||.|| était différentiable en 0 alors elle le serait aussi sur un s.e.v. de E de dim 1 donc isomorphe à R sauf que sur R, les seules normes sont les t->a|t| avec a>0 qui ne sont pas différentiables.

D'accord, merci Ben pour ces précisons. Je n'avais pas du tout songé à cela !

[MacManus]

Et bien merci chers amis ! Bonne fin de soirée.