Une formule de Ramanujan

[Zweig]

Bonjour,

Je suis à la recherche d'une démonstration aussi élémentaire que possible de la formule suivante



avez et des réels vérifiant , où sont les nombres de Bernoulli et la fonction de Riemann.

N'ayant, a priori, pas de nom, il m'est difficile de trouver quelque chose sur le Net ... Si vous avez des références (anglais ou français), si possible disponibles sur le Net, je suis preneur.

Merci.

[Nightmare]

Autant, je conçois que les formules de Ramanujan concernant le nombre pi, bien que toujours horrible, ait un minimum d'utilité, mais alors celle là... Elle est imbuvable, je suppose que la preuve l'est aussi. En clair, on se fait chier à la lire, on se ferait surement chier à la prouver. J'aimerai donc bien savoir avant de le faire (ou du moins, essayer...) que peut bien apporter une telle formule...

[Zweig]

Comme tu le sais tès certainement, autant on connaît une formule exacte pour, entier naturel, et comme conséquence on en déduit, par la transcendance de , que tous ces nombres sont transcendants ; autant on n'a aucune formule pour , et on ne sait pas grand chose sur leur possible irrationalité/transcendance hormis que :

- est irrationnel (théorème d'Apéry, 1977)

- il existe une infinité de naturels tels que soit irrationnel (théorème de Rivoal, 2000)

- au moins l'un des nombres est irrationnel (théorème de Zudilin)

Ici Ramanujan lie, d'une manière compliquée certes, les valeurs impairs de avec les nombres de Bernoulli (qui sont rationnels). Pour le moment, cette formule n'a pu être utilisée pour démonter l'irrationalité (probable) de tous les , mais il paraît que ça creuse encore de ce côté ... Voilà donc une application probable de cette formule.

[mathelot]

ici ................................................................................

[Zweig]

Merci ... C'est hideux, mais ça je m'en doutais un peu :zen:

[mathelot]

Le hic, c'est que l'oeuvre de Ramanujan est peu connue en France.
Il manque d'éxégètes.

[Zweig]

Peut-être que c'est parce que, comme l'a dit Nightmare, pas mal de ses formules n'ont aucune utilité au sein des Mathématiques ? Enfin je dis ça, je dis rien, c'est vrai que bien ce personnage me fascine, je ne sais pas grand chose sur ce qu'il a révolutionné en Mathématiques, mis à part quelques formules par-ci par-là que j'ai vues sur le Net (comme dans ta signature) ... Il est difficile de trouver un bouquin qui donne un aperçu des travaux de cet homme (ou alors, j'ai mal cherché aussi !)

[Nightmare]

Il me semble que Ramanujan s'amusait à trouver ces formules plus pour leur "beauté" (celles de pi en tout cas) qu'autre chose, et aussi pour dire qu'elles existent :lol3:

[acoustica]

Peut-être que c'est parce que, comme l'a dit Nightmare, pas mal de ses formules n'ont aucune utilité au sein des Mathématiques ? Enfin je dis ça, je dis rien, c'est vrai que bien ce personnage me fascine, je ne sais pas grand chose sur ce qu'il a révolutionné en Mathématiques, mis à part quelques formules par-ci par-là que j'ai vues sur le Net (comme dans ta signature) ... Il est difficile de trouver un bouquin qui donne un aperçu des travaux de cet homme (ou alors, j'ai mal cherché aussi !)

lol, je croyais que tu avais ses "Carnets"?

[Zweig]

Acoustica > Je voulais dire, un ouvrage vulgarisé qui fait le point sur l'ensemble de ses travaux.

[acoustica]

Acoustica > Je voulais dire, un ouvrage vulgarisé qui fait le point sur l'ensemble de ses travaux.

Je dois dire que les Carnets sont imbuvables^^

[Zweig]

En fait, le lien que tu présentes Mathelot, il n'y est démontré la formule que pour et . Pour les curieux, la démo complète est ici :

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa21/aa21116.pdf

[benekire2]

Ramanujan a aussi travaillé en théorie des nombres et a trouvé quelques résultats intéressants il me semble.

[Zweig]

Oui oui, bien sûr, il a oeuvré dans pas mal de domaines, dont l'Arithmétique en effet. Il a travaillé sur la partition des nombres entiers, sur les nombres taxicab, on lui doit les "mock theta" fonctions etc ..