Une équation avec la densité normale

[Mouss75]

Bonjour,
Je suis en stage en maths appliquées et je cherche à résoudre l'équation suivante :
ou x est une fonction de , est un réel, et sont respectivement la fonction de répartition et la densité de la loi normale centrée et réduite..
Je cherche l'expression analytique de .

Si vous avez une piste, un début de semblant d'idée, ou une solution :we: ...merci beaucoup de m'en faire part.

[Clise]

Bonsoir,

D'après wikipedia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale), la loi centré et réduite vérifie l'équa diff où est la densité de cette loi .
De plus, la densité est paire et est définie de R dans R+.

Pour revenir à ton problème, je trouve que ton équation différentielle ressemble étrangement à celle que je viens de te donner, peut être à une intégration et une constante près, mais je pense que ça serait une piste peut être fructueuse ... je continue à chercher et te tiens au courant :id:

[Clise]

Voila, après pas mal de tournage en rond, j'obtiens (aux erreurs de calcul près) un truc de la forme

,
tel que et différent de 0 (ils sont aux dénominateurs à un moment).

Je ne sais pas si ça t'avance (ou simplifie le problème), mais c'est le seul résultat auquel j'ai pu aboutir...

Souhaites tu que je te transmette ce que j'ai fait ou ça n'a pas d'intérêt ?

[Mouss75]

Bonjour,
Merci pour la piste de l'equa diff, j'avais déjà envisagé l'équation sous cette forme puisque à alpha près s'en est une...mais sans succès au final

Pour information je précise que j'ai les a priori suivants
x(alpha) est impaire
x(0)=0 (cas évident)
en moins l'infini x(alpha) tends vers 0-
en plus l'infini x(alpha) tends vers 0+

merci en tout cas,

Bonsoir,

D'après wikipedia (http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale), la loi centré et réduite vérifie l'équa diff où est la densité de cette loi .
De plus, la densité est paire et est définie de R dans R+.

Pour revenir à ton problème, je trouve que ton équation différentielle ressemble étrangement à celle que je viens de te donner, peut être à une intégration et une constante près, mais je pense que ça serait une piste peut être fructueuse ... je continue à chercher et te tiens au courant :id:

[Mouss75]

Bonjour,
Merci pour ce joli resultat,...je suis vraiment curieux de voir comment on en arrive à ce stade !
Mais quelques questions :
qui est "t" ?
est ce qu'on ne peut pas tout simplifier par x(alpha) ?

Mais effectivement je veux bien voir le detail...ou des grandes lignes

Mouss

Voila, après pas mal de tournage en rond, j'obtiens (aux erreurs de calcul près) un truc de la forme

,
tel que et différent de 0 (ils sont aux dénominateurs à un moment).

Je ne sais pas si ça t'avance (ou simplifie le problème), mais c'est le seul résultat auquel j'ai pu aboutir...

Souhaites tu que je te transmette ce que j'ai fait ou ça n'a pas d'intérêt ?

[Clise]

pardon excuse moi, t =a, j'ai fait mes calculs avec t comme variable, question d'habitude et j'ai mal recopié ... Je vais commencer a rédiger ça, mais ça va prendre un peu de temps ... et par la même occasion essayer de voir si les informations supplémentaires que tu m'as donné ne simplifie pas un peu plus l'équation finale... et effectivement, on peut tout simplifier par x(a) si tu impose (comme je l'ai précisé) que x(a) est différent de 0.

[Clise]

Désolé, mais pour question d'habitude, je vais faire mes calculs avec comme variable t ...
la densité d'une loi normale centrée réduite.



Maintenant, reprenons ton équation différentielle où est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
, ce qui en remplaçant F par sa définition donne



En dérivant tout ça par rapport a t, on obtient

D'après la formule de dérivation sous le signe somme
, je réinjecte tout ça dans l'expression et je trouve
, en utilisant , on a






pour tout t tel que x'(t) différent de 0.


Je reprends maintenant l'expression de départ

pour tout t tel que x(t) différent de 0.


J'égalise maintenant les deux expression de que j'ai trouvé
, en supposant que est différent de 0, on a




Je m'étais trompé, hier, donc on obtient un truc plus compliqué ... :marteau:
Cependant, il n'est pas évident que je ne me sois pas trompé encore, une vérification ne serait pas de trop :ptdr:

Puis je vois pas trop comment on peut résoudre l'équation finale ... :mur:

[Mouss75]

Bonjour,

Effectivement, élégant et astucieux comme approche...dommage que l'équation finale soit un bon mur...
J'ai vérifié les calculs...dans le principe tout est bon, juste un problème de signe il me semble (ligne 3, quand tu réinjectes, le deuxième terme prends un moins du coup je pense)...mais ça n'a pas de grandes conséquences dans les lignes suivantes...!

Un peu frustrant au final...l'équation de départ est assez jolie, mais pas de solution explicite pour le moment...c'est la beauté des maths sans doute !

La piste de l'équadiff du début ne résoud pas non plus le problème, au mieux je tombe sur
ce qui ne m'avance pas beaucoup plus (2 intégrations par parties successives ne découlent pas sur quelque chose de magnifique...)

Merci en tout cas...et puis je continue à y réfléchir..

[Mouss75]

Re :
Encore un doute en fait qui m'avait échappé hier...
dans la ligen ou tu utilises la formule de dérivation sous le signe somme je comprends la premiere egalité, mais pas la seconde ! ??

[Mouss75]

Re:
Encore une petite coquille :happy2:, rien de grave, juste dans le développement un t² qui devrait etre un (avant dernière ligne des développements).

Ca ne simplifie toujours pas l'équation finale... :briques:

Toutefois une idée pour la résoudre peut-etre...faire un changement de variable X(t)=f(x(t)) pour essayer de rattrapper une équation différentielle linéaire...il va falloir être malin ! A la recherche d' :id: