Un type de matrices

[egan]

Salut tout le monde,

Mes souvenirs en réduction sont assez flous et j'aurais besoin de votre aide sur un point classique.
Je m'interesse aux matrices carré dont tous les coefficients valent 1 sauf sur la diagonale ou ils valent 0. Je veux montrer qu'elles sont inversibles en passant par la réduction. Ces matrices sont symétriques réelles donc diagonalisables en base orthonorme. En particulier, elles sont inversibles si et seulement si 0 n'est pas valeur propre. Pour montrer ça, je me souviens que l'on peut montrer qu'il y a d'autres valeurs propres dont la somme des ordres vaut n, ce qui termine la preuve. J'ai exhibe une valeur propre: n-1 qui est associée au vecteur propre dont toutes les composantes valent 1. Mon problème est maintenant de conclure sur mon histoire d'ordre de tout à l'heure. Je ne sais plus faire...

En vous remerciant par avance.
Boris.

[Doraki]

Tu devrais regarder ce qui se passe sur l'hyperplan d'équation x1+x2+...+xn = 0.

[egan]

Tu devrais regarder ce qui se passe sur l'hyperplan d'équation x1+x2+...+xn = 0.

Je ne vois pas ou tu veux en venir.
C'est un hyperplan donc dimension n-1. Ça doit jouer ça.
C'est aussi l'orthogonal du vecteur propre que j'ai mis en évidence via le produit scalaire usuel.

Ah tiens. Tous les vecteurs de cet hyperplan sont associés à la valeur propre -1. Ça termine la démonstration.

C'est ça ?

[Luc]

Je ne vois pas ou tu veux en venir.
C'est un hyperplan donc dimension n-1. Ça doit jouer ça.
C'est aussi l'orthogonal du vecteur propre que j'ai mis en évidence via le produit scalaire usuel.

Ah tiens. Tous les vecteurs de cet hyperplan sont associés à la valeur propre -1. Ça termine la démonstration.

C'est ça ?

Et bien oui puisque tu as trouvé n valeurs propres (comptées avec multiplicité) non nulles. Les matrices considérées sont donc inversibles (pour n>1).

[egan]

Merci pour votre aide ! ;)