TVI

[chombier]

Bonjour
J'ai une petite question à propos du TVI.

Soit une fonction continue vérifiant et

J'affirme que pour tout , l'équation admet au moins une solution.

Le TVI ne s'applique pas car n'est pas un segment.

Comment prouver mon affirmation ? J'ai bien quelques pistes mais je les trouve bien compliquées.

Vos idées m'intéressent beaucoup, merci d'avance !!

En terminale, les profs n'ont pas d'états d'âme


Source : un corrigé de l'apmep
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Corrige_sp ... 024_BS.pdf

[Ben314]

Salut,
Si alors, par définition de ce que signifie , il existe un réel tel que, pour tout , on ait . Il suffit ensuite d'appliquer le T.A.F. au segment .

[chombier]

Merci Ben, c'est ce que j'avais à peu près en tête sauf que j'avais ajouté un et j'avais appliqué la définition formelle de la limite en .

Que penses-tu du corrigé ?

J'enseigne en terminale et je suis toujours mal à l'aise avec ça (j'applique la méthode du corrigé que je considère tout simplement comme fausse ).

[Ben314]

Je connais pas trop les programmes, ni le niveau actuel au Lycée, donc j'en pense pas grand chose . . .
Pour quelqu'un qui aurais compris la définition d'une limite, ce type de rédaction ne pose pas de problème, mais vu que je suppose que ce n'est pas trop le cas du terminale de base . . .

[vam]

Bonjour

Bon, un élève qui rédigera ça comme ça, aura ses points, OK

Mais je pense, une fois qu'on a vu dans quel secteur cela était possible, il n'est pas interdit de prendre de prendre deux valeurs du genre 0 et 2, de dire avant 0 rien, après 2 rien non plus, et de mettre en valeur f(0) et f(2). Et là on peut appliquer plus proprement. Non ?

[chombier]

Voila comment je rédigerais si je voulais détailler toutes les étapes :

Soit .

Par définition de la limite,


donc il existe un réel A tel que

En particulier, avec ,
donc
donc
.

et donc on peut appliquer le TVIà l'intervalle [0;a]

C'est la preuve de Ben314 avec plus de détails sur l'existence du "A"

[vam]

Dans le programme officiel de spe maths, on parle d'approche intuitive de la notion de limite. Selon le niveau de la classe, tu peux tenter, dessins à l'appui...mais cette formalisation ne me paraît pas accessible à la majorité des élèves d'une classe de terminale actuellement.

[chombier]

Je sais, le programme de lycée est une catastrophe. Formaliser la notion de dérivée à partir d'une approche intuitive de la notion de limite. Donner une formule toute faite pour la dérivée d'une somme sans avoir les outils pour la démontrer...

Utiliser le TVI sur des intervalles de la forme alors que dans l'énoncé du théorème, il est très clairement spécifié qu'il ne s'applique que sur des segments...

Comment leur donner le goût de la rigueur avec ça ?

[vam]

Oui, je sais...dur dur...
et pourquoi pas prendre la solution que je donnais à 13h32 ?

[chombier]

Bonjour

Bon, un élève qui rédigera ça comme ça, aura ses points, OK

Mais je pense, une fois qu'on a vu dans quel secteur cela était possible, il n'est pas interdit de prendre de prendre deux valeurs du genre 0 et 2, de dire avant 0 rien, après 2 rien non plus, et de mettre en valeur f(0) et f(2). Et là on peut appliquer plus proprement. Non ?

Entre f(0) et f(2), ça fonctionne, mais je ne sais rien de f(2)

Si y=2,9999, je dois trouver un x>0 tel que f(x)>=2,9999

Ceci dit le "si ça tends vers 3, ça doit dépasser 2,9999 à un moment ou à un autre" est peut-être la formulation que je cherchais...

[catamat]

Bonjour

Pour avoir enseigné en TS il y a quelques années, on pouvait aussi utiliser le théorème de la bijection (après étude des variations)

Théorème de la bijection
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors :
f réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle f (I).

Dans ce théorème I peut être ouvert ou semi ouvert.
Cela sous entend bien sûr de savoir déterminer l'image d'un intervalle.
voir parex:
https://www.educastream.com/fr/theoreme ... erminale-s

[chombier]

Bonjour

Pour avoir enseigné en TS il y a quelques années, on pouvait aussi utiliser le théorème de la bijection (après étude des variations)

Théorème de la bijection
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors :
f réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle f (I).

Dans ce théorème I peut être ouvert ou semi ouvert.
Cela sous entend bien sûr de savoir déterminer l'image d'un intervalle.
voir parex:
https://www.educastream.com/fr/theoreme ... erminale-s

Ah il est très bien celui là, je l'adopte !

D'autant qu'en terminale, on n'utilise quasiment que le théorème de la bijection

Merci