TVI pour f'

[Romanouch]

Bonjour,

Je scanne l'énoncé d'un problème concernant le Théorème des Valeurs Intermédiaires.



La propriété (P) est la suivante:
Soit une fonction à valeurs dans définie sur un intervalle d'intérieur non vide. On dit que f possède la propriété des valeurs intermédiaires si pour tout (a,b) tel que a < b et pour tout réel compris entre f(a) et f(b), il existe c [a,b] tel que f(c)=.

C'est la question 2.3 qui me pose problème. J'arrive à la conclusion que:

c ]a,b[ / ]f'(a),f'(b)[, f'(c)= (1)

Pourtant, je pensais que le théorème des valeurs intermédiaires concernait des intervalles fermés (dans ce cas, [a,b] et [f'(a),f'(b)]).

Est-ce que je me trompe? Si je ne me trompe pas, comment inclure a, b, f'(a) et f'(b) dans (1)?

Merci par avance de votre aide.
Romain

[Sylviel]

Bonjour,

je ne comprends pas très bien : j'ai l'impression qu'il manque la définition de (P) et de (1)...

si tu as l'existence de c pour tout lambda dans ]f'(a),f'(b)[ avoir l'existence pour [f'(a),f'(b)] est assez facile à obtenir...

[Archibald]

De mémoire, et tout comme dans le théorème des accroissement finis et celui de Rolle, la dérivée première n'est définie que sur un intervalle ouvert car rien ne nous assure l'existence d'une limite finie respectivement à gauche en a et à droite en b.

[Romanouch]

J'avais oublié de préciser la proposition (P).
Je viens de rectifier dans l'énoncé.

La proposition (1) est celle à laquelle j'aboutis.

[arnaud32]

tu utilises d'abor un argument de continuite de g sur le copacte [a,b]

ensuite tu peux raisonner par l'absurde en supposant que c= a donc que pour tout x de [a,b] f(x)-l.x>f(a)-l.a (et utiliser la def de la deivee)

finalement tu constates que g est derivable et que c etant interrieur a [a,b] la derivee de g y est nulle

[Romanouch]

tu utilises d'abor un argument de continuite de g sur le copacte [a,b]

ensuite tu peux raisonner par l'absurde en supposant que c= a donc que pour tout x de [a,b] f(x)-l.x>f(a)-l.a (et utiliser la def de la deivee)

finalement tu constates que g est derivable et que c etant interrieur a [a,b] la derivee de g y est nulle

Bonjour Arnaud32, je te remercie pour ta réponse.

Ce que tu expliques est juste mais ce n'est pas ce point qui me pose problème.
En suivant cette logique, j'arrive à montrer que f' vérifie le théorème des valeurs intermédiaires pour les intervalles ]a,b[ et
]f'(a),f'(b)[. Car c est différent de a et de b et ]f'(a),f'(b)[.

Je comprends que si c ]a,b[, alors il est également vrai qu' c [a,b].
Par contre, le fait que f'(c) = [f'(a),f'(b)], je ne le vois pas.

[arnaud32]

tu as montre qu'il existe c dans ]a,b[
tels que
c est donc un minimum local de g qui est derivable donc g'(c)=0
g'(c)=f'(c)-l et tu as donc f'(c)=l

[Romanouch]

tu as montre qu'il existe c dans ]a,b[
tels que
c est donc un minimum local de g qui est derivable donc g'(c)=0
g'(c)=f'(c)-l et tu as donc f'(c)=l

Oui, nous sommes d'accord, c'est ce que j'appelle (1).

Ma question subsiste:
ce que j'obtiens ->
ce que je veux obtenir ->

En fait j'ai l'impression qu'en montrant la proposition (P) avec un intervalle des ouvert, je ne démontre pas totalement que f' vérifie (P).

J'espère être clair.

[arnaud32]

tu as en fait montre:

pour et tu prends c=a et c=b
et tu as donc bien

[Romanouch]

tu as en fait montre:

pour et tu prends c=a et c=b
et tu as donc bien

Ok je vois maintenant, c'est en effet assez évident.
Mais dans ce cas, pourquoi avoir posé ]f'(a),f'(b)[ et nous avoir fait en déduire que c était différent de a et b?
Je ne comprends pas vraiment le but de la démarche (à part m'embrouiller ce qui a fonctionné).

[ffpower]

Salut,
Le fait que c soit different de a et b est important pour pouvoir deduire que du fait que g est minimal en c (cette deduction n est pas vraie quand c est au bord de l intervalle.
C'est pourquoi on traite les cas ) ou a part. (mais vu que c'est des cas triviaux, c'est pas bien grave)