Trouver les fonctions

[zork]

bonjour,

soit g:[0,1]-->R une fonction continue sur [0,1]
déterminer les fonctions f:[0,1]-->R deux fois dérivables sur [0,1] telles que f(0)=f(1)=0 et f"=g

j'ai essayé avec taylor et reste intégral à l'ordre 2, j'obtiens:


mais après?

merci

[Doraki]

Ben avec ça tu en déduis f'(0). Et il reste juste d'écrire la même égalité mais avec x dans [0;1] quelconque plutôt qu'avec x=1

[zork]

pourrais tu être plus précis?

ce que j'ai là ne sert à rien alors?
puisque f'(0)=.. est censé me donné quoi?

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:
D'après la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre , on obtient :
:

Or : , alors :

Et donc :

Et donc :

On remplace dans :

Inversement, tu vérifies si .
Cordialement. :happy3:

[zork]

pourquoi après vous prenez un x dans [0,1]
quel est l"utilité de prendre un x?

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:
C'est pour trouver l'expression de .
On a :
d'après le développement de Taylor avec reste intégral.
Pour trouver , il suffit de trouver l'expression de et de et de les remplacer dans et comme ça , on obtient l'expression de . :happy3:
parce que est , d'après l'énoncé, définie sur .
C'est ce que j'ai fait. :happy3:

[zork]

pour montrer que f"(x)=g(x) je dérive le f(x) trouvé
mais comment trouver f"(x) puisque f'(x) n'a plus de x et que du coup les règles de dérivation ne s'appliquent pas

[barbu23]

Tu dérives - fois par rapport à , et étape par étape pour que je comprends ce que tu écris et pouvoir te corriger :

[Doraki]

pour montrer que f"(x)=g(x) je dérive le f(x) trouvé
mais comment trouver f"(x) puisque f'(x) n'a plus de x et que du coup les règles de dérivation ne s'appliquent pas

Dans ce que t'as écrit il y a un x dans la borne d'intégration.
S'il n'y avait pas de x ça voudrait dire que f' serait constante et donc que sa dérivée serait nulle.

[zork]

mais après?

puisque je trouve f"(x)=g(x)-g(x)+g'(x)

[barbu23]

car : et