Trouver base de Ker(f-id) (diagonalisation matrice)

[jojolartrichaud]

Salut à tous !
Les vacances passent et on oublie tout.

Dans mon cours j'ai un exemple de diagonalisation de matrice.

A = 1 -1 -1
1 3 1
-1 -1 1

Donc on cherche les valeurs propres.
1 est valeur propre simple
2 est valeur propre double


Ensuite il faut chercher les bases des espaces propres associés.

Sans détails il est marqué :

E1 : e'1 = (1,-1,1) (e'1) base de E1
E2 : e'2 = (1, -1, 0)
e'3 = (0, 1, -1) (e'2, e'3) base de E2


Comment on trouve ces bases ?
Je cherche depuis pas mal de temps et je ne me rappelle pas... Ca équivaut bien à chercher une base de Ker(A-Id) et Ker(A - 2Id) ?
Comment on fait ça deja ?

Merci d'avance !

[XENSECP]

C'est bien ça.



Donc comme



Soit tu "vois" le vecteur, soit tu peux poser et résoudre le système.

Par contre d'après mes calculs tu t'es trompé dans la recopie de la matrice et/ou des valeurs propres.

[jojolartrichaud]

J'ai édité, oui, navré. :x

Donc, selon la méthode suggérée, je trouve :

(1, -1, 1) pour le vecteur propre de E1
et (1, -1, 0) et (0, -1, 1) pour les vecteurs propres de E2

Est-ce bien ça ?


Dans la continuité de cela, j'ai fait un autre exercice :
La matrice est la suivante :

5 -1 1
1 3 -1
2 -2 4

Valeurs propres : 2, 4, 6
Quand je cherche les vecteurs propres, j'en toruve deux à chaque fois.

Genre pour E2 j'ai la matrice :
3 -1 1
1 1 -1
2 -2 2

je pose X3 = -3X1 + X2
j'ai alors :

X1
X2
-3X1 + X2

=(1, 0, -3)X1 + (0,1,1)X2


Ca me fait donc : ((1, 0, -3),(0,1,1)) base de E2... Qui a une valeur propre simple.
Les deux vecteurs ne me semblent pas être liés... Donc je ne sais pas où je me trompe ! :help:

[XENSECP]

Euh Suffit de regarder sur la 2ème ou 3ème ligne, c'est pas cohérent.

Non mais est engendré tout simplement par

[jojolartrichaud]

Pour trouver les vecteurs propres il faut donc faire comme j'ai fait, et éliminer ceux qui ne sont pas cohérents ?

Ah, et je vais sûrement paraitre bête, mais comment on sait que ce n'est pas cohérent ? ^^
On fait :
3*0 + 1*-1 + 1*1 = 0 ==> cohérent (idem ligne 2 et 3) on garde.

1*2 - 0*2 - 3*2 != 0 ==> pas cohérent donc on élimine ?

[XENSECP]

Lol, tu n'es pas censé en avoir plusieurs !!

N'oublie pas que tu résous le système

En l'occurrence quand l'espace est de dimension 1 (comme là), tu dois trouver 2 coordonnées en fonction de la 3ème. En la fixant tu donnes un vecteur générateur (parce que tu peux prendre tous les vecteurs colinéaires que tu veux... même si on préfère les "simples").

[jojolartrichaud]

Oui, c'est ce qu'il me semblait, mais je suis tombé plusieurs fois, en essayant d'exprimer x2 en fonction de ex1, sur des trucs du genre : x2 = x2 ou x1 = x1

Sinon, la méthode que j'ai posté en éditant pendant que tu postais, elle marche ?

[XENSECP]

Non.

Tu dois trouver le vecteur. Il n'y a pas de "je teste ça et puis ça".
Mais bon ça vient avec l'habitude. Soit tu fais des combinaisons linéaires. Soit tu remarques que les 2 dernières colonnes sont les mêmes au signe près.

Souviens toi qu'il faut que 3x-y+z = 0 mais aussi les 2 autres.

[jojolartrichaud]

Ok, tout est clair maintenant.
Merci beaucoup ! :)

C'était la première fois que je demandais des maths sur un forum, mais c'est certainement pas la dernière.
A très bientôt donc ! :p