Où se trouve l'erreur ?

par **Mohamed Taoufiq** » 21 Mar 2008, 00:23

montrons que 0.999...=1
posons x=0.999...
10x=9.999...
9x=10x-x=9
donc x=9/9
c/c x=1
où se trouve l'erreur ?

par **fatal_error** » 21 Mar 2008, 00:40

0.999...c'est pas un nombre, c une limite.

par **busard_des_roseaux** » 21 Mar 2008, 08:40

bjr,

il n'y a aucune erreur. Chaque égalité écrite a un sens et la conclusion est
valide.
On a bien:
1=0,99999999999999999999999999...
Ceçi résulte de la construction des nombres réels par les suites de Cauchy.

On a la propriété suivante, très utilisée en analyse:

si

alors

içi, la limite de la suite

(n décimales) et l'entier 1 sont confondus.

Si on souhaitait faire un autre type d'analyse, on créerait des objets "infiniment petits",

et on étudierait les objets ainsi créés (règles de calculs,hiérarchisation,etc..)
comme on le fait avec les grands cardinaux

,..

En tous cas, ce genre de choses n'étaient pas enseignées dans le temps.

conclusion: on tient l'égalité
1=0,9999999999999999999999999.........
pour vraie.

par **alavacommejetepousse** » 21 Mar 2008, 08:53

bonjour

pour tout réel x il y a deux écritures en base 10

l'une dite "propre" ici x = 1

et l'autre ( non dite "sale") ici x = 0,9.....

dans l'écriture propre on interdit que les décimales soient toutes égales à 9 à partir d'un certain rang.

par **busard_des_roseaux** » 21 Mar 2008, 09:55

tu peux considérer l'addition de:

0,99999999999999999999...
+
0,11111111111111111111...
qui vaut
1,11111111111111111111...

d'où vient la retenue ? :zen:

0,999999999999999999... est évalué comme la somme des termes d'une progression géométrique de 1er terme

et de raison

d'où:

de même:

La somme des deux nombres vaut donc

Quand on divise 10 par 9, ça ne tombe pas juste et on trouve:
1,11111111111111111..................

Il y a un tout petit malaise, une petite gêne, quand on regarde la première
addition sous la forme:

0,99999999999999....
+
0,11111111111111...
=
1,11111111111111....
, tout se passe comme si une retenue se propageait des tréfonds
des développements décimaux, de l'infini, en se déplaçant vers la gauche
vers la partie entière du résultat.

Les procédés de calcul habituels n'expliquent pas cette retenue.

Si l'on avait des infiniment petits

et

, exprimant que Achille ne rejoint jamais la tortue, que leur différence est un infiniment petit, la retenue mentionnée précédemment proviendrait de l'addition de

??

On formaliserait alors:

comme pour

???????

la question méritait d'être posée.

par **Mohamed Taoufiq** » 21 Mar 2008, 13:11

merci à tous . et je crois qu'on peut montrer que 1=/0.9999999.... avec le théorème des developement decimal illimité

par **busard_des_roseaux** » 21 Mar 2008, 13:28

Mohamed Taoufiq a écrit:merci à tous . et je crois qu'on peut montrer que 1=/0.9999999.... avec le théorème des developement decimal illimité

j'aurai tendance à appeler

les quatre petits points qui apparaissent à droite. Du moment que l'on se comprend :zen:

Où se trouve l'erreur ?

où se trouve l'erreur ?

Qui est en ligne