Trigonalisation d'une matrice

[Anonyme]

Bonjour, je viens demander votre aide car je bloque à la fin de la trigonalisation suivante.

J'ai la matrice suivante à diagonaliser (avec ) :


Passons les détails des calculs, mais je trouve comme polynôme caractéristique : . D'où -2 est valeur propre triple. Ensuite j'utilise la technique habituelle de trigonalisation.

Je construis une nouvelle base : avec , et

J'obtiens alors une matrice semblable à A dans ma nouvelle base que je note B :

J'étudie alors
En construisant une nouvelle base avec et , on a :

On trouve

D'où finalement,

C'est là que vient mon problème, je devrais trouver (car on a que est nilpotent d'indice 3), mais je trouve , voici mes calculs :

Or,

J'aimerais savoir d'où peut venir mon erreur. Je vous remercie et j'espère que mon message est assez clair (et complet).

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Il y a un soucis quand tu écris B, la vraie matrice est en fait la transposée de ce que tu propose.
Ensuite il y a un un soucis de signe entre la matrice que tu extrait et la matrice B.

[Anonyme]

Bonjour et merci pour votre réponse !
Effectivement pour B j'ai inversé les lignes et les colonnes dans le code TEX, et l'erreur de signe est une faute que j'ai faite en recopiant, je me suis décidément mal relu ^^

[Arnaud-29-31]

Ok, je trouve bien la même chose.

On a au final la nouvelle base et la matrice de f dans cette base est

Si on ajoute a cette matrice on obtient bien une matrice nilpotente d'ordre 3 ...

[Anonyme]

Merci beaucoup ! Je suis soulagé, je ne sais pas pourquoi j'étais persuadé qu'on devait trouver un 1 en lieu et place du 4. Il me semblait l'avoir entendu en cours (matrice de Jordan, etc...), j'ai du mélanger.

Bonne journée ! :zen:

[Arnaud-29-31]

De rien.
Bonne journée !