Trigo sphérique

[busard_des_roseaux]

bjr,

je travaille la trigo sphérique (si,si, ça m'arrive de travailler :we: ) sur la doc :

je ne comprend pas le passage:

"la considération du triangle polaire permet d'en déduire immédiatement:

cos(A)=-cos(B)cos(C)+sin(B)sin(C)cos(a)

"

merçi pour votre aide :zen:

[alben]

Bonjour,
On ne t'as pas défini le triangle polaire ?
C'est le triangle obtenu ainsi :
Pour chaque coté, par exemple AB, on prolonge le grand cercle dont il fait partie qui devient une sorte d'équateur qui détermine deux pôle. Le troisième point C est dans l'une ou l'autre des hémisphères et l'on prend le pôle C' dans la même hémisphère que C. Autrement dit, C' est le pôle le plus près de C. Et l'on fait la même chose pour déterminer A' et B'.
L'intérêt c'est que les "cotés" (qui sont des angles par rapport au centre) deviennent les angles du triangle polaire et les angles deviennent les cotés du triangle polaire. Autrement dit, dans la notation de ton cours, les majuscules deviennent des minuscules et réciproquement.
Un autre propriété intéressante est que si l'on cherche le triangle polaire du triangle polaire, on retombe sur le triangle d'origine ie cette transformation est involutive

[busard_des_roseaux]

merçi beaucoup. c'est simple et ...génial.
Toutes les formules de trigo auront leur formule duale. Est-ce que cela a à voir avec la polaire d'un point en géométrie plane ?

[alben]

Je ne pense pas qu'il y ait de rapport avec la polaire d'un cercle.
Mais, en me relisant, je me suis rendu compte que j'ai écrit une bétise. Les angles ne sont pas identiques mais supplémentaires a'=pi-A;A'=pi-a etc...
Désolé, ce sont de vieux souvenirs :briques:

[busard_des_roseaux]

bonsoir,

j'ai un peu avancé: Avec deux points A,B parmi trois points A,B,C
on récupère le grand cercle de la sphère (AB) passant par A et B, puis (AB) faisant office d'équateur, on obtient le pôle "nord" C' dans le même hémisphère que C.
L'aire du triangle sphérique ABC' , (comme C' est le pôle nord par rapport à (AB)) , est une proportion de l'aire de la demi-sphère, proportion
égale au rapport de longueur d'arc (AB) au périmètre équatorien.
Et on a une formule sphérique pour évaluer les aires.
où A,B,C sont les angles du triangle sphérique ABC.
J'aurai bientôt la formule de dualité ! :+++:

[busard_des_roseaux]

Bonsoir,

j'aurai besoin d'aide pour démontrer la formule:

aire d'un triangle sphérique ABC =

merçi pour votre aide.

[busard_des_roseaux]

je remonte le fil.

Dans la doc , on passe de la formule:




à la formule "duale" avec le triangle polaire A'B'C' du triangle ABC:



J'ai réussi à montrer que les angles de A'B'C' sont les côtés de ABC
mais j'ai des souçis pour les côtés de A'B'C' sont les angles de ABC:

en effet , est un vecteur normal du plan affine (OAB)
et est un vecteur normal du plan affine (OAC)
mais que vaut le cosinus de l'angle
je ne vois pas s'il vaut cos(A) ou -cos(A) à cause des deux orientations possibles d'une droite perpendiculaire d'un plan.

et aussi la formule de Picard:



ne serait qu'une indication. je crois qu'il faut que je considère le triangle
comme l'intersection de trois fuseaux.

enfin, the last but not the least, quel élément différentiel infinitésimal doit
on intégrer pour calculer l'aire de la sphère (et trouver )


merçi de m'aider. :briques:

[busard_des_roseaux]

y a quelqu'un ? s'il vous plait..

[busard_des_roseaux]

je remonte le fil:

si quelqu'un peut m'expliquer (2) et (4) de cette doc

[busard_des_roseaux]

voilà où j'en suis doc :

En considérant le pôle C' associé à (AB), on "voit" que cet angle:
(mesure en radians )

donc le triangle polaire A'B'C' de ABC a ses angles égaux aux côtés de ABC.

Concernant ses côtés, l'examen de l'angle entre les vecteurs normaux aux plans (AOB) et (BOC) me conduisent à:

ce dernier angle ayant pour mesure b'

d'ou

j'écirs la formule fondamentale (1) pour le triangle polaire A'B'C':







je fais donc une erreur de signe (cf doc,formule2) mais je ne vois pas où.

merçi pour votre aide, si vous avez une bonne vision dans l'espace...

[alben]

Bonjour,
J'ai l'impression d'avoir une petite responsabilité avec l'erreur que j'ai faite dans le message n°2 (corrigée dans le n°4 mais tu n'as pas du la voir).
Les angles duaux sont supplémentaires et non égaux. C'est là l'origine de ton pb de signe
Dans ton dernier message tu écris

En considérant le pôle C' associé à (AB), on "voit" que cet angle:

Attention ce n'est pas vraiment l'angle C' puisqu'il est relatif à A, B et non A',B'.
En fait, si tu admets que le passage au triangle polaire est involutif (pas difficile à voir), il suffit d'établir une seule relation les avoir toutes.
Ainsi, tu as trouvé que , donc aussi que en notant A", B",b"... les éléments du polaire du polaire. Et comme b"=b, on a bien et idem avec A,a,C,c

[busard_des_roseaux]

Attention ce n'est pas vraiment l'angle C' puisqu'il est relatif à A, B et non A',B'.

merçi bien. Je ne voyais pas mon erreur. As tu une idée pour le thm de Picard ?

[alben]

As tu une idée pour le thm de Picard ?

Plutôt le théorème d'Albert Girard :we:
C'est assez simple mais fastidieux sauf à sacrifier une orange.
J'ai trouvé ce texte assez clair malgré des notations maladroites :
ici
Attention, les angles en A, B, C sont notés a,b,g non gras et S (parfois en gras parfois pas) désigne à la fois la surface totale de la sphère et la somme des trois angles. En outre on utilise des degrés (tradition maritime oblige)

[busard_des_roseaux]

bonjour Alben (et les autres aussi),

je suis ok pour les analogies de Delambre:



mais j.f ruaud indique que l'on peut changer l'angle C en -C.

je ne vois pas. :triste:

[busard_des_roseaux]

bjr,
je voudrai montrer que ABC=A"B"C" est le triangle polaire de A'B'C'.
comme et \ sont tous les deux dans l'orthogonal
de Vect
ou
comment déterminer le signe ?

[busard_des_roseaux]

je remonte le fil...

[busard_des_roseaux]

bjr,

je cherche une indication comment démontrer le théorème de Girard:

calcul de l'aire d'un triangle sphérique à partir de l'excès sphérique:

[alben]

Bonsoir,
le lien que j'avais mis sur le message n°13 est mort mais la démarche est très simple (niveau collège-lycée) : tu traces les 3 grands cercles qui contiennent les cotés de ton triangle. Cela découpe la surface de ta sphère en 8 triangles sphériques avec les points A' opposé à A, B'...
La surface totale de ces 8 triangles fait 4piR².
Mais on peut associer les triangles par paires ayant un coté commun : ABC+AC'B forme un secteur de sphére de surface 2R²(angle C) et aussi A'B'C'+A'B'C=2R²(angle C'). Par ailleurs les angles en C et C' sont égaux.
On obtient ainsi 6 équations (2 par angle) que l'on somme.
La somme totale sera égale = 4R²(somme des 3 angles) et comptera 12 triangles : trois fois ABC et son opposé A'B'C' et une fois chacun des six autres.
Comme ABC et son opposé sont de même surface, on a finalement

soit encore

[busard_des_roseaux]

merçi beaucoup.