Tribu engendrée par deux familles de parties distinctes

[Samoth]

Bonjour,

Soient , deux familles de parties d'un ensemble .
On suppose que . Alors .

Pour montrer l'inclusion ...
Comme , alors car est la plus petite tribu qui contient , et .
Je n'arrive pas à en déduire que , même en passant par la définition formelle de .

Pour l'inclusion réciproque, comme est une tribu qui contient , elle contient aussi .

Merci pour vos indications !

[tournesol]

si C1 est inclus dans s(C2) , s(C2) est une tribu qui contient C1 . Donc elle contient la plus petite tribu qui contient C1 .
rappel : s(C1) est l'intersection de toutes les tribus qui contiennent C1 .
Donc s(C1) est incluse dans toute tribu qui contient C1 .Donc dans s(C2) .

[Samoth]

Merci tournesol.

[Samoth]

Donc si je comprends bien, étant l'intersection de toutes les tribus contenant la famille de parties , alors en notant une tribu contenant la famille de parties , on a par construction .

Ainsi, est incluse dans toute tribu qui contient .

Finalement, étant une tribu qui contient , on en déduit que

[tournesol]

Autre point de vue:
l'inclusion est une relation d'ordre PARTIEL sur les parties de
Par définition la tribu engendrée par A est la plus petite tribu s(A) qui contient A .
Plus petite veut dire que malgré l'ordre partiel , s(A) est comparable à toute tribu qui contient A , et elle lui est inférieure ou égale . Ce qui veut dire qu'elle est par définition incluse dans toute tribu qui contient A .
Elle est unique si elle existe car si deux candidates postulent pour être s(A) , elles sont par définition l'une incluse dans l'autre .
Elle existe car l'intersection de toutes les tribus qui contient A est une tribu qui répond au cahier des charges de S(A) .

[Samoth]

Très intéressant, merci tournesol.

Pour terminer la preuve, il reste à démontrer .

Par hypothèse, . Donc est une tribu qui contient , et donc par définition de .