[BAC+2] Transformée de Laplace

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Après de longues réflexions, je n'arrive toujours pas à montrer une
propriété de la transformée de Laplace :

On note L(f) la fonction appelée transformée de Laplace définie par :
L(f)(p) = int_(0;+inf)(f(t)*exp(-pt)dt) avec f une fonction continue par
morceaux (à valeurs complexes) définie de 0 à + inf. p est un complexe.

Je dois montrer que si p est un complexe tel que l'intégrale
int_(0;+inf)(f(t)*exp(-pt)dt) converge, alors pour tout nombre complexe
p' vérifiant Re(p') >= Re(p), l'intégrale converge aussi. Et en déduire
qu'il existe p0 appartenant à "R barre (R + +inf et -inf)" tel que
L(f)(p) existe si Re(p) > p0.

Je ne trouve pas les élements nécessaires dans mon cours. Quelqu'un
aurait une piste ? C'est une propriété élementaire de la transformée de
Laplace mais comment la montrer ?

Merci d'avance,

Vincent

[Anonyme]

Vincent avait écrit le 30/04/2005 :
> Je dois montrer que si p est un complexe tel que l'intégrale
> int_(0;+inf)(f(t)*exp(-pt)dt) converge, alors pour tout nombre complexe p'
> vérifiant Re(p') >= Re(p), l'intégrale converge aussi. Et en déduire qu'il
> existe p0 appartenant à "R barre (R + +inf et -inf)" tel que L(f)(p) existe
> si Re(p) > p0.
>
> Je ne trouve pas les élements nécessaires dans mon cours. Quelqu'un aurait
> une piste ? C'est une propriété élementaire de la transformée de Laplace mais
> comment la montrer ?

Il suffit de voir que : | exp(-p*t) | = exp(-Re(p)*t) pour tout t
réel.
(Décomposer p avec sa partie réelle et sa partie imaginaire, et
remarquer que | exp(-i*Im(p)*t) | = 1).
Même chose en remplaçant p par p'.

Donc si Re(p') >= Re(p), alors exp(Re(p')*t) =< exp(Re(p)*t) pour tout
t réel positif
et donc | f(t) * exp(-p'*t) | =< | f(t) * exp(-p*t) |.

La fonction dont on veut prouver l'intégrabilité est continue par
morceaux sur lR+*, et majorée en module par une fonction intégrable...

[Anonyme]

> Donc si Re(p') >= Re(p), alors exp(Re(p')*t) = réel positif
> et donc | f(t) * exp(-p'*t) | =< | f(t) * exp(-p*t) |.

OK merci et la conclusion ca vient de la croissance comparée, mais pour
les complexes ? En fait j'ai pas ce théorème je me doutais d'un truc du
genre mais bon...

[Anonyme]

"Vincent" a écrit dans le message de news:
4273cee8$0$20860$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>> Donc si Re(p') >= Re(p), alors exp(Re(p')*t) => réel positif
>> et donc | f(t) * exp(-p'*t) | =
> OK merci et la conclusion ca vient de la croissance comparée, mais pour
> les complexes ? En fait j'ai pas ce théorème je me doutais d'un truc du
> genre mais bon...

Ce théorème est toujours valable dans C, à condition de remplacer les
valeurs absolues par les modules.
Tu peux prendre les parties réelles et imaginaires pour t'en convaincre.