Transformée de Fourier signal triangle

[Jeff974]

Bonjour,
Cela fait un petit moment que j'ai fini mes études et j'ai la mémoire déficiente au sujet de Fourier.
Comme représentée sur le schéma joint, la transformée de Fourier d'un triangle est connue, mais je souhaiterais connaître la méthode pour en déduire la transformée de Fourier d'un signal composé de plusieurs triangles .
J'ai fait des recherches sur internet, à première vue il faut utiliser la fonction de Dirac et effectuer une convolution. Et là je sèche un peu.
Si quelqu'un pouvait m'aider sur ce problème, j'en serais très heureux.
Merci beaucoup d'avance !

[Jeff974]

Je viens de m'apercevoir d'une coquille au niveau de l'abscisse...
Au lieu de lire 2T, 4T..., il faut lire 3T, 5T, 7T.
Merci pour votre aide !

[Ben314]

Salut,
A mon sens, là où le bât blesse (de façon.. très grave...) c'est en ce qui concerne ce que tu te rappelle concernant la définition de ce qu'est une série de Fourier et donc à quoi ça correspond.
Une série de fourrier, ça se calcule avec à la base une fonction périodique donc de parler de "série de Fourier de la fonction triangle" avec comme dessin de "la fonction triangle" ton dessin qui ne correspond absolument pas à une fonction périodique, ben ça a pas le moindre sens.
Quand on parle de cette fameuse "Série de Fourier de la fonction triangle", ce qu'on appelle "la fonction triangle", c'est la fonction 2T-périodique qui, sur une période possède la courbe que tu as dessiné.
Et en particulier, c'est exactement la même fonction que celle 4T-pérriodique de ton second dessin (à condition de considérer qu'il a une erreur sur ce second dessin et que c'est 3T et pas 2T l'abscisse "finale")

Et pour le dessin 3, si tu précise pas quelle est la période de ton truc, ben ça a pas de sens non plus de parler de la série de Fourier de cette fonction vu qu'il faut la "recopier" de façon périodique pour que ça ait du sens.

[Jeff974]

Bonjour Ben,

Tu as raison, cela manque de précisions.
En en effet pour le cas 1, la période serait de 4 T (de -T à 3T), et pour le cas 2, la période du signal 8T (de -T à 7T)

[Jeff974]

Ben,
Lorsque j'ai fait mes recherche sur internet, j'avais trouvé un TP dans lequel était calculée la transformée de Fourier d'une fonction triangle puis était déduit la tranformée de Fourier du signal triangle en effectuant une convolution avec un peigne de Dirac.
Je pensais m'inspirait de ce TP pour trouver la solution à mon problème, mais j'ai calé....

[Ben314]

J'ai pas trop le temps de regarder tout de suite (peut-être ce soir), mais je ne pense pas qu'il y ait de "formules simples" reliant les transformées de Fourier de deux fonction n'ayant pas la même période (à part bien sûr si l'une des fonction se déduit de l'autre par "homothétie sur l'axe des x".
Donc avec tes deux fonction dont une est 4T périodique et l'autre 8T périodique, il faut commencer par écrire celle 4T-Périodique en terme de 8T-Périodique (ce qui correspond à changer la façon d'indexer les coefficients).
Ensuite, si tu doit translater ta fonction, là, il y a des formules simples pour voir ce que ça donne sur les séries de Fourier.

Le problème, c'est que tel que tu les décrit, j'ai pas du tout l'impression que ta deuxième fonction puisse s'obtenir par translation (et somme) de la première. Donc je suis un peu septique concernant le fait qu'on puisse déduire la série de Fourier de la deuxième partant de la première...

[Jeff974]

Ben,

Par exemple, pour parler du dernier cas, ne serait-il pas possible de décomposer le signal en une somme de trois triangles retardés et de faire la somme?

[aviateur]

Bonjour
Tu dis bien transformée de Fourier (et non série de Fourier) .
Alors si on prend la définition classique (celle des matheux) suivante (définie pour les fonctions )

Alors ta fonction triangle que je note admet une transformée de Fourier facile à calculer
(puisque en fait l'intégrale sur se simplifie en une intégrale sur [-T,T])
On trouve

Maintenant si f est un translaté de i.e alors il est facile de voir que


Ainsi si ta fonction f est composée de plusieurs triangles (ou même une infinité de triangles) et on peut ainsi calculer leur transformée de Fourier.
exemple 1. f est composée de 3 triangles (celui du centre et 1 à gauche et 1 à droite)
Plus précisément alors on trouve

reste à simplifier

exemple 2. f est "composée d'une infinité de triangle"
Mais alors il ne s'agit plus d'une transformée de Fourier au sens classique (en effet f n'est pas dans L^1(\R), ni ds L^2(\R) ) mais c'est une transformée de Fourier au sens des distributions
On a alors

[Ben314]

Effectivement, toute mes réponses sont nulles et non avenues : j'avais lu de travers "série de Fourrier" à la place de "transformée de Fourier".