Trajectoire parabolique à vitesse constante : impossible

[ArchiCube]

bonjour;

Voici l'équation paramétrique d'une trajectoire parabolique simple en 2D:
x=t
y=2 + t¨2

le vecteur vitesse a pour norme racine carrée(1+4*t¨2)
on voit que cette vitesse n'est pas constante au cours du temps

J'essaye d'obtenir en vain une trajectoire PARABOLIQUE (donc y est un polynôme de degré 2) avec norme vitesse CONSTANTE(or la dérivée de y n'est jamais constante puisque de degré 2-1=1)

La solution que je donne est fausse et j'aimerais avoir la bonne:
ma solution:
l'abscisse curviligne est s(t)=Integrale(sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2))
donc la vitesse sur la courbe est en norme : sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2)
pour que cette vitesse soit constante (par exemple = v)
sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2))=v soit en élevant au carré : 1+(y'(t)/x'(t))¨2=v^2 soit y'(t)/x'(t)=sqrt(v^2-1)

J'obtiens donc le système différentiel suivant:
y'()=2*x(t)*x'(t)
y't)=sqrt(v^2-1)*x'(t)
qui se ramène à l'équation différentielle :
2*x(t)*x'(t)=sqrt(v^2-1)*x'(t)
Malheureusement,la solution de cette équation ne donne pas la bonne trajectoire

Peut-on me donner la bonne solution?



merci de votre aide

[tournesol]

En géneral: trajectoire = support + mouvement sur ce support ( équation horaire de l'abscisse curviligne)
et les deux sont indépendants ie on peut construire en général tout mouvement sur tout support.
Je dis " en général " pour éviter les singularité du support .

[GaBuZoMeu]

Ben, si tu veux une vitesse de norme constante (disons de norme 1) sur ta parabole, il faut remplacer par l'abscisse curviligne sur ta parabole. Tu veux donc

.

Ça s'intègre bien pour donner en fonction de .

[tournesol]

Bonjour GaBuZoMeu
Que fait-on lorsqu'on a trouvé ?

[ArchiCube]

et si je souhaite norme vitesse=K?
quelle est l'équation différentielle qui me donnera la solution de s en fonction de t?

[tournesol]

Si on veut ds/dt=K , alors s=Kt +B ???
AU SECOURS !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[GaBuZoMeu]

Archicube : on remplace s par s/K, tout simplement. Ça ne change pas grand chose.
Tournesol : on contemple la formule trouvée, et on donne un joli nom à la fonction réciproque.

Code: Tout sélectionner

def tournesol(s) :
    t=var("t")
    expr = s-(t*sqrt(1+4*t^2)/2+arcsinh(2*t)/4)
    tsol=find_root(expr,-100,100)
    return tsol

Code: Tout sélectionner

plot(lambda s : tournesol(s),(s,0,20))

[ArchiCube]

la formule:
sqrt(1+4*t^2)*dt/ds=1 est toujours valable en fait car:
(ds/dt)*(dt/ds)=1
ds/dt=sqrt(1+4*t^2)

[tournesol]

Merci pour la courbe et pour le joli nom .

[tournesol]

Bonjour GaBuZoMeu
J'ai repris cet exo car , pour moi ,
C'est cette formule qui permet d'introduire la contrainte sur la vitesse imposée par ArchiCube .
L'équation à intégrer devient
Equation qui s'intègre en avec la CI x(0)=0 .
Elle s'inverse en
L'arc paramétré cherché est alors défini par , et c'est ce que cherchait ArchiCube.
Cependant , je ne vois pas l'intérêt d'introduire s puisque l'équation peut très bien s'écrire

[GaBuZoMeu]

Que fais-tu d'autre que remplacer t par x et s par t ?

[tournesol]

Selon moi , ces variables ne sont pas substituables : x et s sont des longueurs et t est le temps .
Ta proposition est un attentat contre l'homogénéité des formules qui décrivent les lois de la physique .
x est un paramètre du support . Quand on écrit , on ne fait pas de la cinématique .
Certes on peut considérer que cette équation définit l'arc paramétré , mais cet arc n'est pas paramétré par le temps .
Si on considère l'arc , alors la vitesse v(t) est égale à est n'est donc pas constante .
Si on paramètre l'arc cherché avec s , on obtient et même dans le cas ou K=1 , l'arc paramétré défini par n'est pas un objet d'étude de la cinématique .
Il le devient lorsqu'on remplace s par son expression en fonction du temps (ici s=1t 1 ayant la dimension d'une vitesse) .

[GaBuZoMeu]

Je rappelle que le fil commence avec la paramétrisation x=t, y=t^2+2.
L'attentat contre l'homogénéité des formules a déjà été perpétré. Et quand tu écris , c'est quel genre de grandeur physique si est une longueur ?
On ne se préoccupe pas ici de grandeur physique, et la vitesse est juste la dérivée par rapport au paramètre.

[tournesol]

Je te remercie pour tes explications . Je dois encore réfléchir à ta dernière phrase .
Pour moi , s reste un paramètre lié à une distance parcourue sur un support , mais aussi au support lui même qui doit être rectifiable . s n'étant pas en général une fonction affine de t , on ne peut pas prendre s comme unité de temps . Comme paramètre , oui , mais pas comme unité de temps .
, ce n'est pas mais le vecteur unitaire tangent du repère de Frenet .
En conclusion , je n'arrive peut être pas à avoir une hauteur de vue suffisante sur cette question .

[GaBuZoMeu]

Parler en terme de vitesse est imagé, mais apparemment ça te trouble.

Le problème est juste le suivant :
On a une paramétrisation . La norme de n'est pas constante. On cherche un changement de paramètre tel que soit de norme constante 1.

Un petit dessin.

Code: Tout sélectionner

xs=lambda s : tournesol(s)
ys=lambda s : tournesol(s)^2+2
parabole =parametric_plot((t,t^2+2),(t,-4,4))
puces =points([(xs(-16+2*s),ys(-16+2*s)) for s in range(17) ],\
              color="red",size=30)
show(parabole+puces)

Les arcs de parabole entre deux puces rouges consécutives ont tous même longueur : 2.

[tournesol]

Merci pour tes explications illustrées .
C'est exactement comme cela que je comprend le problème : s permet de définir le vecteur unitaire tangent, ainsi d'ailleurs que le vecteur normal . Et nous sommes bien dans un contexte de cohabitation entre l'objet d'étude qui est M(t) et le paramètre s qui permet d'affiner cette étude . La vitesse ne devient pas constante par magie . M(s) n'est qu'une paramétrisation admissible et les deux arcs sont équivalent mais en aucun cas égaux . Il est bien entendu que si l'objet d'étude devient M(s) , et si l'on remplace s par t dans M(s) , on obtient dans le cas de notre exo , un mouvement dont la vitesse est égale à 1 et le tour de magie est ici .
Ce n'est pas l'option que j'ai choisi pour résoudre ce problème , mais les calculs ont été identiques .
Supposons que je cherche une paramétrisation qui donne une vitesse constante sur (x(t),y(t))
Sans connaitre ta méthode (qui consiste à interpréter différemment le pb), j'aurai changé t en u , puis résolu
Toi , tu utilises t(s) au lieu de u(t) , puis quant tu as paramétré ton arc avec s , tu remplaces s par t dans les formules obtenues . Les calculs sont identiques .
Ma méthode ne contient pas de tour de magie mais elle me parait plus pédagogique pour expliquer à des étudiants . La tienne est plus subtile car elle réinterprète le pb , mais elle me parait moins abordable .
Sans vouloir prendre mon cas pour une généralité , ni pour un mauvais exemple , mes difficultés de compréhension en témoignent .

[GaBuZoMeu]

Je ne trouve pas que ce soit une kolossale finesse d'écrire pour arriver à l'équadiff à variables séparées afin d'avoir . Mais bon, chacun a sa façon d'appréhender les choses.

[Black Jack]

Je rappelle que le fil commence avec la paramétrisation x=t, y=t^2+2.
L'attentat contre l'homogénéité des formules a déjà été perpétré. Et quand tu écris , c'est quel genre de grandeur physique si est une longueur ?
On ne se préoccupe pas ici de grandeur physique, et la vitesse est juste la dérivée par rapport au paramètre.

Même si l'écriture : x=t, y=2 + t² semble bafouer l'homogénéité (si x et y sont des longueurs et t le temps), il n'en est rien.

Cette écriture est une abréviation admise et habituelle de :

x = 1*t avec [x] = L ; [1] = LT^-1 et [t] = T
y = 2 + 1*t² avec [y] = L ; [2] = L ; [1] = LT^-2

Il n'y a aucune raison pour que la constante "2" soit sans dimension et il est aussi normal de ne pas écrire les constantes multiplicatives de valeur 1 même si elles ont des dimensions.

Pour |v| = RCarrée(1 + 4t²), on a [v] = LT^-1 ; [1] = L²T^-2 ; [4] = L²T^-4 et [t] = T

rien d'anormal là dedans.

Par contre, si dans les équations de départ données, t n'est pas le temps mais est un paramètre d'une autre dimension, c'est un autre problème ... qui a été abordé.

[Black Jack]

Bonjour,

Si on veut parcourir une trajectoire d'équation y = 2 + x² à vitesse |V| constante, on doit avoir la relation suivante liant t et x :


avec k une constante qui impose l'origine de l'horloge.

Mettre cela sous la forme x = f(t) est très difficile (voire impossible ?), mais, on peut facilement tracer les courbes représentant x = f(t) en s'aidant d'un tableur (par exemple).
On peut évidemment alors aussi en tirer la courbe de y = f(t)

Voila ce que cela donne par exemple pour parcourir la parabole y = 2 + x² depuis le point d'abscisse -2 au point d'abscisse 3 à la vitesse constante 5 (le tout évidemment avec un système d'unités cohérent).



Evidemment, on écrit le fichier du tableur en laissant les abscisses de départ et d'arrivée ainsi que la vitesse désirées en paramètres, et donc modifiables sans difficultés.

Toutes distractions incluses.

[tournesol]

ton y est en accord parfait avec son developpement asymptotique évident(car la parabole se verticalise) et calculé en +infini , ie 5t+2 .