Trace ..

[sandrine_guillerme]

Voici un exercice que je trouve particulièrement intérésant

pour ceux qui veulent s'amuser ..
Pour commencer:

Montrer que





Bon courage .. :lol4:

[Joker62]

En prenant le produit scalaire
sur l'espace des matrices

A est symétrique positive, donc ses valeurs propres sont toutes positives
De même pour B

Donc A et B sont semblables à deux matrices Diagonales dont les coefficients sont les valeurs propres.

On a il exite P1 et P2 orthogonales telles que :



Un ptit coup de Cauchy-Scwharz :




D'où = car les doubles produits sont positifs.

De même pour B, et on a fini.

[sandrine_guillerme]

C'est ça bravo Joker,

Tu m'as donné une nouvelle méthode,
sinon y'en a une autre, en considèrant

[Joker62]

Hey le carré ne devrait-il pas s'appliquer sur (X+Y) plutot que sur la trace ? :^)

Edit : Merci au fait :p

[sandrine_guillerme]

Oui en effet ..

Voici une suite si tu veux :

Montrer L'inégalité stricte dans le cas de l'ensemble des matrices symétriques définies- positives ...

[tize]

Bonjour,
bien vu Joker62,
pour la suite, il me semble que l'on a égalité dans cauchy schwarz uniquement si .( constante)
Avec la propriété de diagonalisation des matrices symétriques positives, il ne reste plus qu'à vérifier le cas où A et B sont diagonales, définies et "proportionnelles", ce qui n'est pas très difficile...

[Joker62]

La suite me posé problème oui mais ta façon de voir les choses est pas mal je trouve.

Etudier les cas d'égalité, et vérifer que dans le cas des matrices symétriques définies positives, c'est impossible, je pensais pas du tout comme ça merci ;)

[sandrine_guillerme]

allons y un autre exo ..



Montrer l'équivalence

A est semblable à une matrice dont les termes diagonaux sont nuls

:girl:

[tize]

Bonjour,
c'est un classique je crois...par récurrence sur n.

[Joker62]

Le sens indirect est évident...

A = P^-1 D P

On sait que Tr(A) = Tr(D), donc Tr(A) = 0

[tize]

Pour c'est évident !
On suppose que c'est vrai pour un .
Soit une matrice carré de rang .

Si est lié pour tout vecteur alors M est la matrice d'une homothétie et avec mais puisque alors et est déjà une matrice "dont les termes diagonaux sont tous nuls".

Sinon il existe tel que est libre et on peut compléter en une base (avec et ) dans laquelle la première colonne de la nouvelle matrice est . Puisque la trace est toujours nulle, on en déduit aussi que la trace de la matrice carré d'ordre extraite de (en prenant les dernières colonnes et les dernières lignes) est nulle. Par récurrence, il existe inversible d'ordre telle que est une matrice dont les termes diagonaux sont tous nuls.
Reste à voir que la matrice vérifie bien : a tous ses termes diagonaux nuls...et est semblable à .

[sandrine_guillerme]

Bien vu José :we:


Bravo .. !