Trace nulle

[guillaume100]

Bonjour à tous,

Comment montrer dans une matrice carré que si sa trace est nulle alors il existe un vecteur u tel que (u,f(u)) est libre, je veux bien une indication svp !

[mathelot]

Ça ne marche pas avec la matrice nulle..

[aviateur]

Bonjour
Il faut peut être regarder problème en partant de la négation de la conclusion. Si pour tout u on a (u,f(u)) liée, cela signifie que tout vecteur est propre, i,e tel que De plus, c'est clair que
Autrement dit f est une homothétie.
La réciproque est évidente.

On a donc l'existence d'un u tel que (u,f(u)) est libre est équivalent à f est une homothétie.
Que vient faire la trace la dedans.?
Et bien si et si alors f n'est pas une homothétie d'où la conclusion
(et il faut bien supposer que )

[guillaume100]

Ah ouais merci beaucoup aviateur j'ai compris comment faire ! J'ai oublié de mettre que la matrice n'etait pas suppose nulle dans l'enonce