Topologie matricielle

par **The Void** » 18 Jan 2009, 10:33

Bonjour,

Je dois trouver les points d'accumulations et points isolés de { A dans Mn(C), A^p=I}, p étant fixé.
Déjà les A sont diagonalisables.
Cependant si Ak->A, la base de diagonalisation de Ak peut changer... je ne sais pas comment faire.

Merci pour votre aide.

par **ThSQ** » 18 Jan 2009, 11:22

Déjà pour commencer, In est un point isolé (minorer, en fonction de p uniquement, |1-a| où a est une vp de A != In).

par **The Void** » 18 Jan 2009, 15:15

J'ai réussi à le montrer pour In.
Et aussi que si Ak->A alors il existe e, ||Ak-A|| < e => Ak~A (semblable)
Mais pas moyen de conclure en général...

par **ThSQ** » 18 Jan 2009, 15:44

Pas des tonnes de volontaires ...Joli exo The Void, origine ?

E = l'ensemble en question.

Ma suggestion : A est un point isolé <=> A = a*I avé a une racine p-ième (ie une seule vp)

Déjà s'il y a deux vp différentes a et b alors A_n =
( a .... (b-a)/(n*b))
( 0 .... b)
( ....)
est dans E et tend vers la matrice (rajouter des P et P^{-1} autour de tout ça et d'autre lignes et colonnes) et donc c'est pô un point isolé.

Ensuite si A_n != A -> A.
On diagonalise P_n D_n P_n^{-1} -> P D P^{-1}
Les D_n sont en nombre fini (p valeurs possibles au plus sur la diago) donc on peut extraire une suite constante telle que P_f(n) D' P_f(n)^{-1} -> P D P^{-1}
Par continuité du polynôme carac on a D=D'.
Conclusion dès que l'on approche de trop près a*I en restant dans E on devient égal à a*I : a*I est un point isolé.

par **The Void** » 18 Jan 2009, 16:11

Joli exo The Void, origine ?

Oral ens entre autres.

Sinon, bien vu pour la matrice
( a .... (b-a)/(n*b))
( 0 .... b)
( ....)
ca marche :happy2:

par **ThSQ** » 18 Jan 2009, 16:23

The Void a écrit:Oral ens entre autres.

OK, pas très fréquent les oraux de topologie sur les matrices, non ? ( hélas )

par **The Void** » 18 Jan 2009, 16:45

OK, pas très fréquent les oraux de topologie sur les matrices, non ?

J'avoue que je ne sais pas trop ^^ mais effectivement ce serait domage car ils sont intéressants.

Tiens: si tu as encore le temps, un autre que je n'ai pas trouvé: intérieur des matrices diagonalisables, et trigonalisable réelles.
Je crois que dans R, les racines d'un polynome ne sont pas fonction continue des coefficients (à moins que...?) donc pas évident...

par **ThSQ** » 18 Jan 2009, 17:10

L'intérieur des matrices diagonalisables = matrices diagonalisables avec vp toutes différentes.

(a u) avec u != 0 est pas diago donc toutes les vp doivent être distinctes
(0 a)

et si toutes les vp sont distinctes en modifiant juste un peu les coeff elles le restent.

par **SimonB** » 18 Jan 2009, 18:08

Mon coloc' a eu "Montrer que Gl_n(C) est connexe par arcs" comme oral ENS, suivi de plusieurs autres questions de topologie matricielle. Ca arrive ! :)

par **yos** » 18 Jan 2009, 18:30

Facile : combien de classes de similitudes dans cet ensemble?

par **ThSQ** » 18 Jan 2009, 19:30

Un beau binôme ?

Edit : si on parle bien du tout premier ensemble

par **yos** » 18 Jan 2009, 20:27

Oui, l'ensemble d'équation

dans

.
Je dirais

?

par **ThSQ** » 18 Jan 2009, 20:32

Perso j'aurais dit plutôt

mais y'a sûrement un détail qui m'échappe :hum:

par **yos** » 18 Jan 2009, 23:35

On ordonne les racines p_ème de 1 :

.
On représente une classe C par celle de ses matrices diagonales qui a ses éléments diagonaux avec indices croissants.
C est caractérisée par une n-liste

avec

.
Suffit de compter ces listes.
Et... oui c'est toi qui a raison : on représente une telle liste par un alignement de n+p-1 objets dont p-1 sont des bâtons et les n autres des x.

par **ThSQ** » 19 Jan 2009, 18:34

Cool :zen:

J'avais calculé le nb de sol de x1 + ... + xp = n mais ça revient au même.

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