[Licence] Topo

[Anonyme]

Bonjour
_______________

Rappels

Soit X un espace topologique.

Définition :
On dit q'une famille B d'ouverts de X est une
base d'ouverts si tout ouvert de X s'écrit comme
réunion d'intersections finies d'éléments de B.

Propriété :
Si X est un espace métrique, la famille
B = {B(x,1/n) | n dans N* et x dans X}
des boules ouvertes de centre x et de rayon 1/n
est une base d'ouverts de X.
________________

Question

Je ne comprend pas cette propriété.
Par exemple comme construit-on la boule ouverte
de centre a (élément de X) et de rayon 2 ?
de rayon racine de 2 ?

Merci d'avance,
Pierre

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> On dit q'une famille B d'ouverts de X est une
> base d'ouverts si tout ouvert de X s'écrit comme
> réunion d'intersections finies d'éléments de B.

Ce sont les intersections qui sont finies : les réunions sont
quelconques. Ceci dit moi j'avais noté dans mon cours qu'il s'agissait
de réunions uniquement (voir aussi
http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node7.php3#aabf1)

--
Nico.

[Anonyme]

Salut

> Je ne comprend pas cette propriété.
> Par exemple comme construit-on la boule ouverte
> de centre a (élément de X) et de rayon 2 ?
> de rayon racine de 2 ?
>

[B = B(a,sqrt(2))] = U B(x,1/n_x) où la réunion est prise sur tout x dans
B(a,sqrt(2)) et n_x pris tel que B(x,1/n_x) soit incluse dans B (c'est
possible puisque B est un voisinage de x).

@+
--
Julien Santini

[Anonyme]

> Ce sont les intersections qui sont finies : les réunions sont
> quelconques. Ceci dit moi j'avais noté dans mon cours qu'il s'agissait
> de réunions uniquement (voir aussi
> http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node7.php3#aabf1)
>

Oui. Pour une base on a seulement des réunions. Dans le Hocking & Young ils
font d'ailleurs la distinction entre "basis" et "subbasis" (qui dénoté la
base "engendrée" en prenant les intersections finies d'ouverts).

--
Julien Santini

[Anonyme]

Julien Santini a écrit :


> Oui. Pour une base on a seulement des réunions. Dans le Hocking & Young ils
> font d'ailleurs la distinction entre "basis" et "subbasis" (qui dénoté la
> base "engendrée" en prenant les intersections finies d'ouverts).

Si pour une base on a seulement des réunions, alors
l'intersection d'une famille finie d'éléments de la
base ne devrait-elle pas être dans la base ?

Pierre

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit :

> Ce sont les intersections qui sont finies : les réunions sont
> quelconques.

Oui c'est bien ce que j'ai écrit.

> Ceci dit moi j'avais noté dans mon cours qu'il s'agissait
> de réunions uniquement (voir aussi
> http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node7.php3#aabf1)

Je tire cette définition de :

http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&elt=399

Pierre

[Anonyme]

Julien Santini a écrit :


> [B = B(a,sqrt(2))] = U B(x,1/n_x) où la réunion est prise sur tout x dans
> B(a,sqrt(2)) et n_x pris tel que B(x,1/n_x) soit incluse dans B (c'est
> possible puisque B est un voisinage de x).

Je te remercie, j'ai compris le principe.

De plus le lien donné par Nicolas répond à une
question plus générale dans le cas où X= R^n.

Pierre

[Anonyme]

> Si pour une base on a seulement des réunions, alors
> l'intersection d'une famille finie d'éléments de la
> base ne devrait-elle pas être dans la base ?
>

Tout à fait, ce qui n'est pas le cas dans ta définition (qui est celle d'une
"subbasis" dans le H&K). Dans le Faisant (Hermann) la définition de base ne
fait appel qu'à des réunions, ainsi que dans le Skandalis (Topologie pour la
license), et aussi dans le Lang (Real and Functional Analysis).

[Anonyme]

Dans la même veine, soient X un espace topologique et
x un point quelconque de X. A-t-on l'équivalence :

X est localement compact <==>
x admet un voisinage compact
?

Par définition ce serait plutôt :

X est localement compact <==>
x admet une base de voisinages compacts <==>
tout voisinage de x contient un voisinage compact

La question revient donc à demander si l'équivalence
suivante est vraie :

x admet un voisinage compact <==> tout voisinage
de x contient un voisinage compact
?

On voit bien que <== est vraie mais je ne suis pas
sûr de l'autre sens...


Pierre

[Anonyme]

> X est localement compact
> x admet un voisinage compact
> ?

Non. Par définition un localement compact est un séparé tel que tout point
admette un voisinage compact. En particulier, ça implique (avec un peu de
travail ...) que tout point admet une base de voisinages compacts (cf le
Skandalis la preuve est dedans), mais la réciproque n'est pas vraie.
J'avais posé la question à Mehdi Tibouchi y'a qques mois qui avait répondu
par la négative, et quelqu'un de sci.math m'avait fourni un contre-exemple
(Google: auteur: moi, mots clés: compact, date: 5 octobre 2003). En fait
deux constructions y sont données, et ma question de départ était: "est-il
possible d'avoir un espace X tel que tout point x admette un voisinage
compact mais tel que X ne soit pas séparé". La réponse est oui, et ça
implique que X n'est pas nécessairement localement compact.

>
> Par définition ce serait plutôt :
>
> X est localement compact

Conséquence de la déf, oui, mais je pense fortement qu'il faut supposer X
séparé pour l'implication réciproque ...

> x admet une base de voisinages compacts
> tout voisinage de x contient un voisinage compact
>
> La question revient donc à demander si l'équivalence
> suivante est vraie :
>
> x admet un voisinage compact tout voisinage
> de x contient un voisinage compact
> ?
>

Sous quelles hypothèses ? En général c'est faux.

--
Julien Santini

[Anonyme]

Julien Santini a écrit :

> Non. Par définition un localement compact est un séparé tel que tout point
> admette un voisinage compact. En particulier, ça implique (avec un peu de
> travail ...) que tout point admet une base de voisinages compacts (cf le
> Skandalis la preuve est dedans), mais la réciproque n'est pas vraie.
> J'avais posé la question à Mehdi Tibouchi y'a qques mois qui avait répondu
> par la négative, et quelqu'un de sci.math m'avait fourni un contre-exemple
> (Google: auteur: moi, mots clés: compact, date: 5 octobre 2003). En fait
> deux constructions y sont données, et ma question de départ était: "est-il
> possible d'avoir un espace X tel que tout point x admette un voisinage
> compact mais tel que X ne soit pas séparé". La réponse est oui, et ça
> implique que X n'est pas nécessairement localement compact.

Je te remercie de ces précisions.

Mais cela signifie que la définition :
On dit qu'un espace topologique est localement "truc" s'il admet en tout
point une base de voisinages "truc" (où "truc" peut être remplacé par
exemple par fermé, connexe, compact, borné).


donnée ici :
http://www.librecours.org/cgi-bin/course?callback=info&elt=399
ne serait pas correcte ?

Pierre

[Anonyme]

> Mais cela signifie que la définition :
> On dit qu'un espace topologique est localement "truc" s'il admet en tout
> point une base de voisinages "truc" (où "truc" peut être remplacé par
> exemple par fermé, connexe, compact, borné).
>

Il semble que l'auteur dans sa définition de localement compact omette le
fait que l'espace doit être séparé; c'est pas faux, c'est juste son choix.
Dans les livres anglais "localement compact" pour nous signifierait que
chaque point admet un voisinage quasi-compact (qui vérifie la propriété de
Borel-Lebesgue sans être séparé): la version anglaise omet donc la
séparation mais elle l'omet aussi sur l'hypothèse des voisinages.
Dans le cours que tu cites, l'auteur omet l'hypothèse de séparation pour
l'espace mais pas pour les voisinages ... c'est un pas académique du tout et
je trouve assez exotique (le cours de mon prof, le Skandalis, et le Faisan
suivent tous la définition standard).

--
Julien Santini

[Anonyme]

Salut,
[color=green]
> > Si pour une base on a seulement des réunions, alors
> > l'intersection d'une famille finie d'éléments de la
> > base ne devrait-elle pas être dans la base ?
> >
>
> Tout à fait, ce qui n'est pas le cas dans ta définition (qui est celle[/color]
d'une
> "subbasis" dans le H&K). Dans le Faisant (Hermann) la définition de base
ne
> fait appel qu'à des réunions, ainsi que dans le Skandalis (Topologie pour
la
> license), et aussi dans le Lang (Real and Functional Analysis).
>

Je suis en train de reprendre le H&Y, et je viens de me rendre compte de
l'inexactitude de ma réponse ci-dessus. (on admet que la réunion vide est
l'ensemble vide et l'intersection vide l'espace tout entier)

1°) Quand on considère une topologie T sur un ensemble X, une classe
d'ouverts B est une base de topologie pour T ssi tout élément de T s'écrit
comme réunion d'éléments de B. En rapport avec la question citée ci-dessus,
ça implique que pour tout point z de l'intersection I de deux ouverts de B,
il existe un ouvert O de B tel que z in O et O C I. Mais ça n'implique pas
que I est lui-même élément de la base (comme je l'avais répondu ci-dessus).

2°) Lorsqu'on dispose d'une classe B d'ensembles de X telle que:
Réunion(éléments_de_B)=X et pour tout (A,B) in B^2, pour tout z in A Inter
B, il existe Y C X, z in Y et Y C A Inter B, alors l'ensemble des réunions
des éléments de B définit une topologie sur X. (on dit aussi que B est une
base pour cette topologie, mais ici on adopte un point de vue de
"génération")

3°) Soit un classe d'ensembles de X notée B. Soit B' l'ensemble des
intersections finies d'éléments de B, et T l'ensembles des réunions
d'éléments de B'. Alors T est une topologie dont une "sous-base" (subbasis
en anglais, je sais pas si ça peut se traduire ainsi) est B.

--
Julien Santini