Questions topo

[John Difool]

Bonjour !

J'aurais quelques points de topologie à éclaircir... Je précise que je fais habituellement des mathématiques appliqués et que mes questions sembleront probablement triviales mais j'ai besoin d'avoir ces confirmations pour que ce soit clair dans ma tête (:

1) Un espace séparable est-il toujours fermé ? (Si E séparable, il existe F inclu dans E tel que , ça veut bien dire que E est fermé...?)

2) Pour prouver qu'un singleton est fermé, j'ai lu quelque part quelqu'un proposer une démonstration en utilisant la caractérisation séquentielle. Démonstration apparemment triviale puisque la seule suite existante dans un singleton {a} est la suite constante égale à a. Mais j'ai également lu que l'unicité de la limite n'est vraie que dans un espace séparé, ce que le singleton {a} n'est pas. Pourtant j'ai quand même vachement l'impression que converge vers a... Je ne sais plus quoi penser...

Je reviendrai sûrement bientôt avec une nouvelle flopée de questions (;
merci d'avance pour vos réponses !

[adrien69]

Salut,
Fais gaffe au manque de précisions ;)
1) Par définition d'une topologie, un espace est toujours un fermé dans lui-même. D'autre part, c'est l'adhérence de F DANS E. Pour ce qui est de ta définition de séparable, il faut que la partie soit dénombrable.
Contre-exemple : ]-1,1[ est ouvert dans R mais séparable pour la topologie induite.

2) Il faut regarder la caractérisation à l'aide de voisinages de la limite. l est limite de la suite Un si pour tout voisinage de l il existe un rang à partir duquel tous les points de la suite s'y trouve.
Par exemple avec une topologie grossière une suite a pour limite tous les points de l'espace.
Encore une fois tu n'es pas assez précis. Ta suite n'est pas censée converger dans {a} mais dans un espace plus grand. Donc tu prends un espace et tu regardes ta suite dedans. D'autre part quelle topologie utilises-tu ? Si c'est la grossière aucune chance. De plus pour utiliser la caractérisation séquentielle tu as besoin d'un espace topologique à base dénombrable de voisinages, ou au pire d'une topologie métrisable, ce qui induit directement que ton espace est séparé. Prenons une topologie où l'on peut jouer avec les limites comme ça et séparé, et un singleton {a}, est-il vrai que la suite que tu as proposée (qui est la seule à valeur dans a) converge dans l'espace vers a ? Eh bien oui puisque à deux points distincts on peut offrir des voisinages disjoints. Donc singleton fermé. Mais on n'avait pas besoin de la notion de base dénombrable pour faire ça. Pour se convaincre qu'un singleton est fermé dans un espace séparé on n'a besoin que de regarder son adhérence : les points dont tout voisinage rencontre l'ensemble considéré. Encore une fois l'axiome de séparation nous assure que ça ne peut être que {a}, et un ensemble égal à son adhérence est un fermé.

p-s. Quand je dis "fermé", "adhérence", etc. il faut lire "fermé de ..." c'est par soucis de lisibilité que je l'omets.

[John Difool]

Re-bonjour,

Tout d'abord merci pour la réponse (très clair) (:

Je me rends effectivement compte que je n'ai pas été assez précis...

Aurais-tu un bon bouquin de topologie à me conseiller ? Les cours que j'ai eu s'attardaient essentiellement sur les espaces métriques, et à présent que je lis le livre de Haïm Brézis "Analyse fonctionnelle, théorie et applications" je me rends compte que ça va bien plus loin que ça (notamment la construction de la topologie faible).

Le problème quand on a pas eu de cours structuré c'est qu'on se retrouve vite avec une soixantaine d'onglets wikipédia ouverts et qu'à la fin on mélange tout (comme cela transparaît dans mon précédent post : p)

[adrien69]

Alors il y a ce poly qui est bien pour les bases, et il y a ça aussi.
Sinon en bible il y a les Eléments d'analyse de Dieudonné.

(N'aies pas peur du poly de l'ENS Ulm, ils ne font pas tout ça en un semestre )

[John Difool]

Merci bien pour les références, je ne manquerai pas de m'y plonger.

J'en profite pour revenir à la charge avec de nouvelles questoins.

1) Dans un espace topologique, une fonction est définie comme continue si : pour tout ouvert U de F est un ouvert de E. Il y a équivalence de définition avec les fermés. Mais cela n'implique pas que si U est fermé de E f(U) est fermé de F , n'est ce pas ? Je n'y ais pas plus réfléchi que ça mais existe t-il un contre-exemple simple ?

2) Soit et , sous quelles hypothèses sur F existe t-il un hyperplan qui sépare {a} et F au sens strict ? Je veux dire des théorèmes autre que ceux de Hahn-Banach ; peut être plus précis vu qu'on est dans R^n... (J'ai l'impression que dans le cadre de la démonstration d'un lemme que j'ai vue il manque des hypothèses pour appliquer Hahn-Banach, d'où ma question)

3) Pour caractériser un ouvert U dans un espace métrique (E,d) on dit que pour tout point x de U on peut trouver une boule de centre x qui est incluse dans U. Quelle est la caractérisation équivalente pour les fermés ? La même avec une boule fermée...?

Merci d'avance pour votre aide. (':

PS : Si mes questions sont troubles, je peux éventuellement citer les théorèmes et preuves avec les passages qui me gênent.

[adrien69]

Yo,
1) Une application comme ça s'appelle une application fermée (cf ce truc ). Un exemple simple c'est la fonction f(x)=0 si x<0 et 1 sinon. Elle est fermée (tu peux t'en convaincre facilement), mais pas continue. Au contraire, l'application Arctan par exemple n'est pas fermée (f(R) est ouvert dans R) mais est joliment continue (même uniformément).
Par contre attention, caractériser l'espace d'arrivée est super important ici. Arctan(R) est un fermé de Arctan(R) par exemple.
Ces trucs sur les applis ouvertes fermées sont super importants surtout dans des Banachs.

2) Pas compris. Si F est de dimension supérieure à 1, l'hyperplan le coupera toujours. Donc strict comment ?

3) Je crois que ce que je vais dire est vrai dans un métrique, mais faut faire gaffe aux axiomes de séparation. Un ensemble est un fermé si son intersection avec tout compact est un compact. Mais je n'arrive plus à me souvenir du nom du théorème (je pencherais pour "caractérisation duale des fermés dans un espace séparé" mais google ne trouve pas)
Sinon dans un métrique séparable, c'est l'espace privé d'une réunion de boules.

[John Difool]

Bonjour et encore merci !

Pour le 2), d'après mon bouquin :

si E est un espace vectoriel normé on définit un hyperplan H de la manière suivante :



où est une forme linéaire et (H est fermé ssi f continue)

et si et

sépare et au sens strict si il existe :

et

S'en suivent les deux théorèmes de Hahn Banach d'existence d'hyperplans fermés séparateurs sous certaines hypothèses sur A et B.

Dans le cadre d'un lemme, l'auteur utilise le fait qu'il existe un hyperplan qui sépare un singleton et un espace F mais j'ai pas l'impression que l'on puisse utiliser les théorèmes d'Hahn Banach pour justifier de l'existence de cet hyperplan. Je me demandais donc si, étant donné que dans le cadre du lemme on se place dans R^n, il existait peut être des théorèmes du même style nécessitant moins d'hypothèses.

[adrien69]

Aaaah A et B sont des parties de E, pas des sev ! C'est pas bien compliqué comme lemme, tu prends une forme linéaire qui vaut ;);) si x vaut ;)a et 0 si x est dans F. En plus elle est joliment continue. Par contre faut pas utiliser Hahn-Banach ici, c'est fait pour le prouver. J'avais jamais entendu parler de Hahn-Banach comme un théorème de séparation d'ailleurs. Tu pourrais m'écrire l'énoncé que tu as ? Ce serait sympa.

[Joker62]

Hello !

En fait, Brézis commence par prouver Hahn-Banach version analytique avec le Lemme de Zorn.

Ensuite, il passe aux versions géométriques.

Thm : Soient A et B deux ensembles convexes non vides et disjoints.
Si A est ouvert, alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens large.

Pour le prouver, il montre que l'on peut séparer un convexe ouvert non vide et un singleton {x0}
grâce au fait que la Jauge d'un convexe est une semi-norme et en appliquant Hahn-Banach analytique.

[John Difool]

Il s'agit des formes géométriques de Hahn-Banach :

1ère forme géométrique : soient et deux ensembles convexes, non vides, disjoints. On suppose que A est ouvert. Alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens large.

(
H sépare A et B au sens large si :

et
)

2ème forme géométrique : soient et deux ensembles convexes, non vides, disjoints. On suppose que A est fermé et que B est compact. Alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens strict.

En fait, je suis resté évasif en espérant qu'il y avait un cas particulier qui résoudrait mon problème mais ça ne marche toujours pas.

Dans la preuve du lemme que je ne comprends pas, on sépare un singleton d'un fermé convexe au sens strict...

EDIT : Les singletons sont bien compacts (dans un evn) ? Pour toute suite de {a} toutes les suites extraites de cette suite converge dans {a} non ?

Auquel cas on pourrait bien appliquer la deuxième forme géométrique de Hahn-Banach.

[Joker62]

Il le sépare au sens large