[licence] topo

[Anonyme]

Bonjour

Dans un exercice, A est un borélien défini d'une
certaine manière et on me demande de montrer
que :

1) A est une partie dense de [0,1]

2) [0,1] \ A est maigre, c'est à dire ne contient
aucun ouvert de IR

Or j'ai l'impression que 1 ==> 2.

Non ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> 1) A est une partie dense de [0,1]
>
> 2) [0,1] \ A est maigre, c'est à dire ne contient
> aucun ouvert de IR
>
> Or j'ai l'impression que 1 ==> 2.

J'ai la même impression puisque si B = [0,1] \ A contient un ouvert U de
R, alors B contient l'ouvert (U inter [0,1]) de [0,1]
Et si une partie A est dense dans un espace E, alors (et même ) son
complémentaire A^c est d'intérieur vide pour E (càd ne contient pas
d'ouvert de E).

--
Nico.

[Anonyme]

In article ,
"Pierre Capdevila" wrote:

> Dans un exercice, A est un borélien défini d'une
> certaine manière et on me demande de montrer
> que :
>
> 1) A est une partie dense de [0,1]
>
> 2) [0,1] \ A est maigre, c'est à dire ne contient
> aucun ouvert de IR
>
> Or j'ai l'impression que 1 ==> 2.

Disons plutôt que la première propriété entraîne que
le complémentaire de A est d'intérieur vide (reformulation
de 1) et de ce qui suit le "c'est-à-dire"). Le "c'est-à-dire"
est faux.

"maigre" signifie "inclus dans une réunion dénombrable
de fermés d'intérieur vide", ce qui est beaucoup plus fort
que le fait d'être d'intérieur vide.

Exemple : Q inter [0; 1] est dense dans [0; 1], par ailleurs,
il est maigre, donc son complémentaire ne l'est pas,
car [0; 1] est un espace de Baire.

Camille