[Licence] Q-e.v.

[Anonyme]

Bonjour

J'ai un petit souci concernant cet exercice :

R est le corps des réels
Q est le sous-corps des rationnels
(e_i) une base du Q-e.v. R
(f_i) est sa base duale.

Montrer que les f_i ne sont pas continues
_____________________

Pour être clair, f_i est la forme linéaire de R sur Q qui
à tout réel x associe sa ième coordonnée (rationnelle).

L'auteur dit que f_i n'est pas continue car :
f_i(0) = 0 , f_i(e_i) = 1 et f_i ne prend que les valeurs
rationnelles entre 0 et 1, donc elle ne vérifie pas le th des
valeurs intermédiaires.

Je trouve cet argument curieux ... pas vous ?

Pierre

[Anonyme]

Salut

> Je trouve cet argument curieux ... pas vous ?
>
> Pierre

Non, qu'est-ce qui gêne ?

[Anonyme]

Julien Santini a écrit
> Non, qu'est-ce qui gêne ?

Tu penses qu'une fonction continue de R dans Q
doit vérifier le th des valeurs intermédiaires ?

Je croyais que ce th était réservé aux fonctions de
R dans R

Pierre

[Anonyme]

> Julien Santini a écrit[color=green]
> > Non, qu'est-ce qui gêne ?
>
> Tu penses qu'une fonction continue de R dans Q
> doit vérifier le th des valeurs intermédiaires ?
>
> Je croyais que ce th était réservé aux fonctions de
> R dans R
>
> Pierre[/color]

Le truc c'est que tu peux voir indifféremment ta fonction f_i comme f_i:
R->Q ou f_i: R->R. Dans le second cas, tu peux appliquer ton théorème des
valeurs intermédiaires tel quel, et dans le premier, tu te places dans
l'espace topologique Q et là tu dis que l'image d'un connexe (ici [0,1], ou
R) par une application continue doit être connexe (c'est la "généralisation"
du TVI). Mais manque de bol, toute partie de Q non réduite à un singleton
n'est pas connexe, cqfd.

Tout repose sur: f: A->B est continue f*: A->C l'est. (avec B inclus
dans C, et A,B,C esp. topo. non vides)

(=>) Soit U ouvert de C, alors f*^(-1)(U) = f*^(-1)(U Inter B)=f ^(-1)(U
Inter B) ouvert dans A car f est continue et U Inter B ouvert dans B.

(<=) Soit U ouvert de B, alors: f^(-1)(U)=f*^(-1)(U)=f*^(-1)(V Inter B) par
définition de la topologie induite, où V est un ouvert de C, = f*^(-1)(V)
Inter f^(-1)(B) = f*^(-1)(V), qui est ouvert car f* est continue.

Remarque une chose, c'est que cette propriété est "naturelle": la topologie
d'un lieu ne doit pas changer si on le plonge dans un lieu "plus grand".

--
Julien Santini

[Anonyme]

> Tout repose sur: f: A->B est continue f*: A->C l'est. (avec B inclus
> dans C, et A,B,C esp. topo. non vides)

où f* est telle que: pour tout x in A, f*(x) = f(x).

[Anonyme]

> Tu penses qu'une fonction continue de R dans Q
> doit vérifier le th des valeurs intermédiaires ?
>
> Je croyais que ce th était réservé aux fonctions de
> R dans R

Tu composes ta fonction continue de R vers Q, par l'inclusion de Q dans R
qui est aussi continue, et tu sais que la composée de deux applications
continues est continue. Tu peux donc appliquer ton théorème.

Exercice (trivial si tu as compris): toute fonction continue de R dans Q
est constante.

--
Yves

[Anonyme]

Julien Santini a écrit
> Le truc c'est que tu peux voir indifféremment ta fonction f_i comme f_i:
> R->Q ou f_i: R->R. Dans le second cas, tu peux appliquer ton théorème des
> valeurs intermédiaires tel quel, et dans le premier, tu te places dans
> l'espace topologique Q et là tu dis que l'image d'un connexe (ici [0,1],
ou
> R) par une application continue doit être connexe (c'est la
"généralisation"
> du TVI). Mais manque de bol, toute partie de Q non réduite à un singleton
> n'est pas connexe, cqfd.
>
> Tout repose sur: f: A->B est continue f*: A->C l'est. (avec B inclus
> dans C, et A,B,C esp. topo. non vides)
>
> (=>) Soit U ouvert de C, alors f*^(-1)(U) = f*^(-1)(U Inter B)=f ^(-1)(U
> Inter B) ouvert dans A car f est continue et U Inter B ouvert dans B.
>
> ( définition de la topologie induite, où V est un ouvert de C, = f*^(-1)(V)
> Inter f^(-1)(B) = f*^(-1)(V), qui est ouvert car f* est continue.
>
> Remarque une chose, c'est que cette propriété est "naturelle": la
topologie
> d'un lieu ne doit pas changer si on le plonge dans un lieu "plus grand".

Je comprend bien la deuxième partie de la démo mais pas la première.
Pourquoi a-t-on : f*^(-1)(U) = f*^(-1)(U Inter B)

Si je choisis pour U un ouvert disjoint de B mais qui rencontre f*(A)
l'égalité semble fausse ?

Pierre

[Anonyme]

> Je comprend bien la deuxième partie de la démo mais pas la première.
> Pourquoi a-t-on : f*^(-1)(U) = f*^(-1)(U Inter B)
>
> Si je choisis pour U un ouvert disjoint de B mais qui rencontre f*(A)
> l'égalité semble fausse ?
>

Un tel U n'existe pas parce que par définition l'image de f (et donc par
définition de f*) est contenue dans B.

[Anonyme]

Yves De Cornulier a écrit :

> Tu composes ta fonction continue de R vers Q,
> par l'inclusion de Q dans R qui est aussi continue,
> et tu sais que la composée de deux applications
> continues est continue. Tu peux donc appliquer
> ton théorème.

OK. Si f : R -> Q est continue et si j'appelle
i : Q -> R l'injection canonique alors i o f
est coninue de R dans R. Donc si i o f n'est
pas continue (en particulier ne vérifie pas le
th des valeurs intermédiaires) alors f n'est
pas continue.


> Exercice (trivial si tu as compris): toute
> fonction continue de R dans Q est constante.

Si f n'est pas constante, alors g = i o f prend
moins deux valeurs distinctes y_1 et y_2. Comme
g ne prend que des valeurs rationnelles entre
y_1 et y_2 elle ne vérifie pas le th des valeurs
intermédiaires, donc g n'est pas continue, donc
f non plus. That's right ?

Merci

Pierre

[Anonyme]

Julien Santini a écrit :

> Un tel U n'existe pas parce que par définition
> l'image de f (et donc par définition de f*) est
> contenue dans B.

OK. J'avais mal compris les hypothèses. Pourrait-on
énoncer ce théorème de la manière suivante :

Une application f : A -> B est continue ssi
i o f : A -> C est continue, où C est un
sur-ensemble de B et i est l'injection canonique
de B dans C ?

On pourrait peut-être encore modifier cet énoncé
en remarquant que f est une corestriction de
i o f. Mais je ne vois pas comment ...

Merci, Pierre

[Anonyme]

> Une application f : A -> B est continue ssi
> i o f : A -> C est continue, où C est un
> sur-ensemble de B et i est l'injection canonique
> de B dans C ?
>

oui, pareil.

[Anonyme]

> OK. J'avais mal compris les hypothèses. Pourrait-on
> énoncer ce théorème de la manière suivante :
>
> Une application f : A -> B est continue ssi
> i o f : A -> C est continue, où C est un
> sur-ensemble de B et i est l'injection canonique
> de B dans C ?

Il faut être plus précis: ça ne coûte rien de dire que C est un sur-espace
topologique; il faut de plus que la topologie induite par C dans B
soit la topologie d'origine de B.