Algèbre de Banach (licence)

[Zebulon]

Bonsoir,
voilà quelques jours que je cherche mon DM, et je reste bloquée sur une question. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?


Contexte : :we:
X est un espace topologique compact.
On note C(x)=ev complexe des fonctions continues de X vers . Alors C(X) est une algèbre de Banach unitaire commutative avec la norme .
Définition d'un caractère : soit A une algèbre de Banach, on appelle caractère sur A un morphisme d'algèbre unitaire de A vers , c'est-à-dire une application linéaire , telle que et pour tous x et y de A, .

Voici la question :
Pour tout , on pose . Soit un caractère de C(X).
Montrer que la famille ne recouvre pas X.

Voici ce que j'ai montré dans les questions précédentes :
pour toute algèbre de Banach A :
si , alors
est continue et
si et sont deux caractères de A et , alors .

J'ai essayé beaucoup de trucs :
trouver un point de X, dans aucun des , comme limite d'une suite de X, où chaque est dans un nombre fini de , et tels qu'ils annulent chacun un nombre infini de , mais je ne sais pas construire une telle suite,
supposer que les recouvrent X, on en extrait donc un recouvrement fini, mais je n'arrive pas à conclure,
construire une f dans qui annule un point x, f comme limite uniforme de n'annulant pas x, mais alors quel x prendre...

Si vous pouviez me mettre sur la voie...
Merci d'avance.

[yos]

Bonsoir Zébulon.
Là j'ai pas le temps, mais si ça recouvrait X et comme c'est des ouverts, tu pourrais en extraire un sous recouvrement fini, et trouver une contradiction.

[Zebulon]

Bonsoir Zébulon.
Là j'ai pas le temps, mais si ça recouvrait X et comme c'est des ouverts, tu pourrais en extraire un sous recouvrement fini, et trouver une contradiction.

J'ai bien essayé, mais je ne trouve aucune contradiction !

supposer que les recouvrent X, on en extrait donc un recouvrement fini, mais je n'arrive pas à conclure

[fahr451]

bonsoir zebulon

supposons qu un tel recouvrement existe

on en extrait un sous recouvrement fini f1,...,fn

on pose f = sigma (i= 1,...n ) module fi ^2

f est dans A khi (f) = 0

f ne s annule pas sur X on pose g = 1/f dans A

on a gf= 1 donc X(1) = X(f)X(g) = 0 absurde

[yos]

Oui désolé. J'avais pas tout lu. Je regarderai assez tard si personne n'a pu te répondre.

[yos]

D'ailleurs c'est fait semble-t-il.

[fahr451]

ben ben, ça compte pas comme réponse ?

[Zebulon]

Merci beaucoup !
J'ai quand même quelques questions...

supposons qu un tel recouvrement existe

on en extrait un sous recouvrement fini f1,...,fn

on pose f = sigma (i= 1,...n ) module fi ^2

donc (pour faire un joli sigma) ?

f est dans A

OK (je rappelle que dans cette question, A=C(X)).

khi (f) = 0

Pourquoi ? Que vaut ? , c'est bien la fonction ?

f ne s annule pas sur X

Et si ? f ne s'annule pas sur tout X (c'est ce qu'on a supposé), mais pourquoi elle ne s'annule pas du tout ?

on pose g = 1/f dans A
on a gf= 1 donc X(1) = X(f)X(g) = 0 absurde

OK en admettant tout ce qui précède.
Encore merci ! :we:

[Zebulon]

Et si ? f ne s'annule pas sur tout X (c'est ce qu'on a supposé), mais pourquoi elle ne s'annule pas du tout ?

En fait, ça c'est bon, j'ai compris.
Donc le seul truc que je ne vois pas, c'est pourquoi .

[fahr451]

par définition les f i sont ds Ker X

on pose gi = f i f i(barre) g i est bien dans A
X étant un caractère
X (gi) = X(f i) X (f i barre) = 0

et f comme somme des g i est aussi ds Ker X ( X est linéaire)

pour tout x un des fi(x) ne s annule pas donc un des termes d ela somme est strictement positif les autres sont positifs ou nuls

[Zebulon]

par définition les f i sont ds Ker X

on pose gi = f i f i(barre) g i est bien dans A
X étant un caractère
X (gi) = X(f i) X (f i barre) = 0

et f comme somme des g i est aussi ds Ker X ( X est linéaire)

pour tout x un des fi(x) ne s annule pas donc un des termes d ela somme est strictement positif les autres sont positifs ou nuls

Merci ! Mille fois merci ! :++: :happy3: :happy:
Encore une petite question : comment as-tu trouvé une f qui marchait en si peu de temps alors que j'ai cherché des heures sans rien trouver ? :hein: :we:

[fahr451]

j'ai 4 fois ton âge donc j'ai passé 80 fois plus de temps à réfléchir à des maths ceci explique peut être cela :)