Théorème de Weierstrass (trigonométrique)

[esperluette]

Bonjour à tous,

J'ai un exo dont le but est de montrer le théorème de Weierstrass (version "réelle") à partir de sa version trigonométrique (toute fonction continue et -périodique sur [a,b] est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales trigonométriques).

Je bloque sur la première question :

Soit continue et >0. On pose pour tout

Montrer qu'il existe une fonction polynomiale trigonométrique P telle que .
En déduire qu'il existe tels que .
Indication : g est une fonction paire.

Alors, pour le début (existence de P), c'est facile en appliquant la version trigonométrique du théorème : on trouve une suite () qui converge vers g : il existe un entier tel que pour . Donc, on peut prendre .

Ensuite, j'avais envie de dire qu'on pouvait choisir ce polynôme comme étant un polynôme réel, car g est réelle (les parties imaginaires des convergent donc uniformément vers 0). Mais je n'arrive pas à l'écrire proprement....

En admettant cela, j'ai donc avec
Il reste donc à montrer que les sont tous nuls, mais je ne vois pas comment faire (enfin si, je vois venir le truc que comme g est paire, les "termes impairs" (en sinus) vont partir, mais je ne vois encore une fois pas comment justifier cela...

Voilà, merci d'avance pour votre aide...

[Ben314]

Salut,
Il y a comme toujours des tas de façons de procéder et, à mon avis, dans le cas présent, tout va dépendre de ce que tu sait concernant ce que tu appelle "le théorème de Weierstrass version trigo." vu que :
1) Ce fameux théorème, ça me semble quand même plus que probable qu'il ait été énoncé en terme de "on prend K=R ou C, blablabla" signifiant que, si ta fonction de départ f (continue et 2.pi-périodique) est à valeur réelle, alors les polynômes trigo. qui vont approximer f sont eux même à coeff. réels.
2) Il est aussi possible que dans le théorème en question, tu ait une formule explicite donnant les coeff. de certains polynômes approximant du style et te permettant immédiatement de déduire que, si f est réelle, alors les et sont réels, mais aussi que, si est paire, alors les sont nuls.

Si tu n'a pas ça dans ton cours (ou dans un autre exo.), alors il faudra le faire "plus à la main" en procédant comme tu le dit pour montrer qu'on peut supposer que les coeff. sont réels vu les éventuelles parties imaginaires sont forcément petite. Et attention au fait que, concernant la parité, c'est pareil : si tu part uniquement de l'hypothése que approxime la fonction paire tu ne risque pas de démontrer que les sont exactement égal à 0, mais uniquement qu'ils sont petits (donc que si on les enlève, on garde une bonne approximation).