Théorème de Rouché

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

A la page du pdf suivant : http://perso.univ-rennes1.fr/karim.bekka/ARCB/Week%20by%20week/ARCB6.pdf , il est dit que : la condition : pour entraîne que pour . Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

[DamX]

Bonjour,

y'a pas grand chose à expliquer, c'est juste une inégalité triangulaire bateau. |f(z)|>|g(z)| et comme f_t(z) = f(z)+t.g(z) (avec t entre 0 et 1) alors forcément |f_t(z)| > 0 (|f_t(z)| = |f(z)+tg(z)| >= |f(z)|-t|g(z)| >0).

C'est probablement le passage le plus simple de la démo :), c'est surement ça qui perturbe !

Damien

Edit: grillé :we:

[barbu23]

Merci beaucoup à vous deux. C'est très gentil. :happy3:

[barbu23]

Re - bonjour :

J'ai le problème suivant :
- Montrer à l'aide du théorème de Rouché, que la fonction : admet zéros dans le disque et tous ses zéros dans le disque .

Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Pour le 1er, fastoche :
Si alors donc a le même nombre de zéros que dans le disque

Pour le 2em, fastoche aussi :
Si alors donc a le même nombre de zéros que dans le disque

[barbu23]

Merci @Ben314 : :happy3:
A la page du même pdf plus haut, il y'a un petit dessin d'un lacet sur quel sont inscrit quelques chiffres : et et et . Et moi, je n'ai pas compris, comment ils ont par exemple trouvé que l'indice au milieu de ce lacet est par exemple égale à , pouvez vous m'expliquer comment on réussit à trouver les indices ( nombres de tours ) sur ce dessin ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Il y a (au moins) deux méthodes :
1) Tu utilise la définition même de l'indice d'un lacet, c'est à dire que tu compte bêtement combien de fois le lacet en question fait le tour du point (en comptant +1 pour un tour dans le sens trigo. et -1 pour un tour dans l'autre sens).
2) (Plus rigolo) Tu commence par mettre 0 dans la composante non bornée du complémentaire du lacet, puis, de proche en proche, tu rempli les autres zones en utilisant la règle "j'ajoute 1 lorsque je traverse le lacet en le voyant partir vers la droite et je retranche 1 lorsque je le traverse en le voyant partir vers la gauche"

[jlb]

Je m'incruste. Veuillez m'en excuser. De mémoire, il y a un lien entre l'indice et le théorème de Sturm. Est-ce le cas ou ma pov mémoire défaille? Je cherche désespérément une démonstration de ce théorème par n'importe quelle méthode d'ailleurs!!! Merci si vous aviez un lien.

[Ben314]

Si tu parle du théorème permettant de savoir combien de zéros a un polynôme de R[X] sur un intervalle donné, je ne connais pas de lien direct avec la notion d'indice et la démonstration et trés élémentaire (tout à fait compréhensible pour un terminale)

Mais c'est peut être d'un autre théorème dont tu parle (j'aime pas les théorèmes "à nom"... :stupid_in )

[barbu23]

Merci beaucoup @Ben314 : :happy3:
J'ai une autre question si tu me permets :
Si on prend un cycle : où les sont des lacets, et les coefficients sont des éléments de ( C'est écrit à la page : du même pdf plus haut ). Or, J'ai vu quelques part dans le même pdf, qu'on peut identifier la fonction : avec l'image de la fonction ( Es tu d'accord avec ça ? et pourquoi ? ), et est ce qu'on peut remplacer la formule précédente : , par une formule de la forme : ?
Et l'identification se fait à l'aide de quel morphisme ?
Merci d'avance. :happy3:

Edit : @jlb : Je m'excuse car je ne sais pas répondre à ta question que tu as posé ici. :happy3:

[Ben314]

Or, J'ai vu quelques part dans le même pdf, qu'on peut identifier la fonction : avec l'image de la fonction ( Es tu d'accord avec ça ? et pourquoi ? )

Ben non, je suis "pas trop d'accord", l'image d'un lacet (on parle souvent aussi de son "support") ça te donne pas toute l'information : s'il y a des croisements, voire pire, des portions du support qui sont parcourus plusieurs fois, tu ne le "vois" pas sur le support. Par exemple, les différents lacets définis par avec ont le même support (le cercle trigo.) mais sont fondamentalement différents : l'indice de 0 par rapport à est .
Et, même dans le cas d'un lacet simple (i.e. sans points double à part ces extrémités), le support ne donne pas toute l'information : il manque le sens de parcours (les points de la composante borné du complémentaire du support sont-ils d'indice 1 ou -1 ?)

[barbu23]

Ah merci. :happy3:
Normalement, les cycles servent à définir une homologie. :happy3:
Est ce que tu sais pourquoi on définit les cycles algébriques sur une variété algébrique projective non singulières comme combinaison linéaire finie de ses sous variétés et non comme combinaison linéaire finie de morphismes à déterminer, comme c'est notre cas ici où les morphismes sont des lacets ici ?. ( Question un peu hors sujet par rapport au sujet initial du cours de ce fil. :we: )
Merci infiniment. :happy3:

[Ben314]

Ah merci. :happy3:
Normalement, les cycles servent à définir une homologie. :happy3:
Est ce que tu sais pourquoi on définit les cycles algébriques sur une variété algébrique projective non singulières comme combinaison linéaire finie de ses sous variétés et non comme combinaison linéaire finie de morphismes à déterminer, comme c'est notre cas ici où les morphismes sont des lacets ici ?. ( Question un peu hors sujet par rapport au sujet initial du cours de ce fil. :we: )
Merci infiniment. :happy3:

Non, je sais pas (faut dire aussi que je comprend pas franchement la question... :marteau:)

[barbu23]

Non, je sais pas (faut dire aussi que je comprend pas franchement la question... :marteau:)

La question est intimement liée à la géométrie complexe, la géométrie algébrique, et la théorie de Hodge. :happy3:
Lorsqu'on est en géométrie complexe, on parle de cycles analytiques.
Lorsqu'on est en géométrie algébrique, on parle de cycles algébriques ( celui qui m’intéressait dans le message précédent )
Lorsqu'on est en théorie de Hodge, on parle des deux types de cycles, c'est à dire, on cherche les analogies entre les deux.
J'ai posé cette question, parce qu'elle me permettra de comprendre un tas de choses sur la conjecture de Hodge. Je ne sais pas si tu la connais cette conjecture. :happy3:

[Ben314]

Je viens de regarder sur Wiki.

[jlb]

Si tu parle du théorème permettant de savoir combien de zéros a un polynôme de R[X] sur un intervalle donné, je ne connais pas de lien direct avec la notion d'indice et la démonstration et trés élémentaire (tout à fait compréhensible pour un terminale)

Mais c'est peut être d'un autre théorème dont tu parle (j'aime pas les théorèmes "à nom"... :stupid_in )

oui, c'était ce théorème et je viens enfin de trouver un pdf expliquant ce résultat. il me reste à me rassurer et voir si je le comprends :soupir2: