Théorème de Rouché

[lisonn]

Je sèche sur un exo qui n'a pas l'air méchant:

Soit D le disque unité et a,b appartiennent a D.
Montrer que possède exactement 5 racines dans D.

J'ai développé l'expression (je ne sais pas si c'est une bonne idée...)

J'ai

Je pense qu'il faut utiliser le théo de Rouché, j'ai envie de séparer les cas où |z|<|a| et |z|<b mais j'ai un problème pour appliquer le théorème....

[Ben314]

Salut,
Je n'ais pas la solution (pas cherché...) mais l'idée d'appliquer Rouché me parrait excelente :


En utilisant Rouché, pour montrer que le polynôme a cinq racines sur D (comptées avec multiplicité), c'est à dire autant de racines que (avec multiplicité), il suffit de montrer que pour tout z du bord du disque D, c'est à dire tout z de module égal à 1 (donc en particulier, ...)

Edit, En fait, l'idée de Rouché, c'est O.K., mais il ne faut pas comparer P(z) avec , mais bien sûr avec qui a bien 5 racines dans D (avec multiplicité) : c'est trés simple et... ça marche.