Théorème de Rolle généralisé à R^n

[Lemniscate]

Bonsoir,

Je dois démontrer le théorème suivant :

Si U ouvert de R^n dont l'adhérence est compacte.
Si f:K->R fonction continue sur K, différentiable sur U et telle que f(x)=0 pour tout x dans (K privé de U).

Montrer qu'il existe un point a de U tel que grad(f)(a)=0.

Bon je sais la définition du gradient ((df/d)(a),(df/d)(a),...,(df/d)(a)).

Je voulais créer une fonction h de R dans R^n (par exemple h(x)=(x,x,...,x), mais je sais pas où ca va me mener). Ainsi g=foh est de R dans R. Et on peut lui appliqué le th de Rolle "normal".

Pouvez vous me dire si j'ai une chance d'arriver au bout de la démo avec cette idée ?

Merci.

[skilveg]

De manière générale, qu'est-ce que tu peux dire d'une fonction continue sur un compact, à valeurs réelles?

Cordialement

[Lemniscate]

De manière générale, qu'est-ce que tu peux dire d'une fonction continue sur un compact, à valeurs réelles?

Cordialement

Merci pour ton indication.

Donc ici f(K) est borné et atteint ses bornes. Appelons v le minimum de f sur K et w le maximum.

On veut montrer que v ou w est atteint, sur une partie de K où f est différentiable, càd sur U. Ainsi si, par exemple, w=f(a), a dans U, alors a sera un point critique de f, donc on aura le résultat grad(f)(a)=0.

Bon alors déjà si f est constante sur K (donc nulle, d'après l'hypothèse que f s'annule sur K-U), on a le réultat.

Si f n'est pas constante sur K, alors il existe un point c de U tel que f(c) > 0 (ou 0. f(K) est borné et atteint ses bornes et f(K-U)=0<w donc il existe a dans U tel que f(a)=w.

D'où le résultat.

Merci beaucoup !

Je crois que j'aurais pu passer bcp de temps à côté de ce que tu m'as indiqué skilveg.

A bientôt.