Théorème de Noether

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
Je suis à la recherche de la démonstration du théorème suivant dans et que je ne dispose pas malheureusement pour le moment, et il n'est pas non plus disponible, dans la BU de notre faculté :
Théorème de Noether :
Soit de degré au plus : donnée par :

Considérons des variables : avec : , il existe des polynomes en les variables : tels que : est réductible en ou de degré , alors : ils sont obtenus par réduction modulo de ces mêmes coefficients.
Merci de votre aide ! :happy3:

[Ben314]

Il me semble que c'est le "théorème de Bertini-Noether"...

[barbu23]

Ok ! La voiçi la demonstration par ici : ( Merci Ben314 ! :happy3: )
http://books.google.fr/books?id=kca0JqBhnsIC&lpg=PP1&dq=Polynomials20with%20special%20regard%20to%20reducibility&pg=PA201#v=onepage&q=&f=false
J'ai du mal à la comprendre ! En plus, c'est écrit en anglais ! Quelq'un peut t-il me filer un coup de main, car c'est très interessant pour continuer le travail ! :happy3:
Merci infiniment ! :happy3:

[barbu23]

svp, un petit coup de main ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Où est-ce que tu bloque ?
J'ai plus ou moins compris la preuve, mais il manque principalement un théorème "B1" qui est essentiel et qui risque d'utiliser la notion de résultants de polynômes pour exiber des racines communes...

[barbu23]

Ben314 : :happy3:
Je blogue d'abord sur cette écriture que je ne comprends pas :

In order to define the forms , we consider the equation :

This equations is equivalent to a system of linear equations in and .

Et pourquoi, elle est equivalent à un système linéaire d'équations ? quelle est la difference entre et ?
Merci Ben ! :happy3:

[Ben314]

Le 'c' de gauche est écrit différement (en gras ?) donc il n'y a aucun rapport entre le 'c' "de gauche" qui est un scalaire et le 'c' "de droite" qui est un ?-uplet (c1, c2,..., c?) ( ? est le coeff binomial C(n+(d-1),n) )
Tu regarde cette "équation" pour a et b fixés et tu veux que les polynômes formels de droite et de gauche soient égaux (i.e. égalité des coeffs).
Cela conduit à des équations de la forme :
c.ai=une somme de b?.c? pour les "petits" degrés (i.e. ceux qui apparaissent dans P_{n,d}
et des équations de la forme
0=une somme de b?.c? pour les degrés trop "grand" pour apparaitre dans P_{n,d}

[mathelot]

Bonsoir,

Il semble que le théorème veuille dire:

le polynome est reductible ssi
il se factorise.
En développant la factorisation et en identifiant les coefficients
des différents produits d'indéterminées, les coefficients initiaux
sont des expressions polynomiales des coefficients des polynômes facteurs.

On arrive à éliminer les et démontrer que les
coefficients sont algébriques.

ça a l'air diifficile mais pas surhumain (avec des résolvants)
de montrer l'existence de telle relations portant sur les coefficients

Par contre, la réciproque est-elle plus difficile, car il faut obtenir
une factorisation en ayant comme hypothèses
des relations algébriques sur les coefficients qui n'ont peut-être rien à voir entre elles.

Alors, là ce qui peut se passer, c'set qu'avec la donnée d'une famille
de polynômes quelconques,
les polynômes vérifient des identités remarquables (des contraintes) tout à fait générales , en fait quasiment tautologiques, qui permettraient d'obtenir la factorisation.

Comme exemple, j'essayerai de regarder ce qui se passe pour des polynomes
comme
qui fait apparaitre un coefficient dans alors que sûrement il y a des corps Z/pZ
qui n'ont pas de racine de 2.

j'ai une autre idée,p-e absurde:
ça a l'air d'être un théorème d'une extrême généralité.Est-ce qu'ils parlent de catégories et d'élements universels dans ces catégories ?

[barbu23]

Bonsoir Ben : :happy3:
Regarde si j'ai bien compris un peu ce que tu dis dans ton dernier poste : :happy3:

Donc :

équivaut à :

équivaut à :

Après, qu'est ce qu'on fait Ben ? :happy3:

[barbu23]

Ok ! je vais lire ce que tu ecris Mathelot ! Merci ! :happy3:

[barbu23]

Mathelot , Peux tu me rappeler ce qu'est un resolvant ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[mathelot]

re,

l'idée semble être la suivante:

Dans la définition d'un polynome générique, celui çi dépend linéairement
de ses coefficients. ça correspond à la définition de la somme de deux polynomes.

En conséquence, quand on écrit une factorisation de P,
on récupère une dépendance linéaire entre certains coefficients.

Remarque, même s'il y a k facteurs, on doit récupérer
de la k-linéarité.
Il doit y a voir des bases canoniques de l'ev des formes k-linéaires
et des morphismes entre et

On peut donc appliquer les mécanismes de l'algèbre linéaire,
comme par exemple de considérer les solutions d'un système
comme "l'intersection de noyaux de plusieurs formes linéaires"
décrits par des équations obtenues avec des déterminants mineurs
que l'on annule.

[mathelot]

Mathelot , Peux tu me rappeler ce qu'est un resolvant ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

j'ai oublié :hum: je crois que ce sont des équations polynomiales
de plus faible degré qui caractérisent les racines communes
à deux systèmes d'équations ??

[barbu23]

C'est un peu dur à comprendre ce que tu dis Mathelot ! :briques:

[mathelot]

désolé de polluer ton fil, après ce message là, j'arrête :hum:

si on regarde comment est fichu un déterminant (de Cramer) 3x3
c'est la combinaison linéaire avec les indéterminées de la 1ère colonne
comme coeffs, de petits déterminants 2x2 obtenus avec des indéterminées
dont les indices sont dans le complémentaire de l'ensemble d'indices
de la 1ère colonne.

De plus, si on considère un petit déterminant 2x2, que l'on multiplie par une nouvelle indéterminée , puisque l'on construit une forme n-linéaire 3x3 à partir d'une somme antisymétrique , on obtient la forme générale
d'un déterminant 3x3.

conclusion:
i) il y a de l'algèbre linéaire car les polynomes
dépendent linéairement de leurs coefficients
ii) algèbre linéaires = systèmes linéaires
étudier les propriétés des déterminants
iii) un déterminant de taille k est obtenu par antisymétrisations
successives (combinaisons linéaires) de déterminants de taille (k-1) en rajoutant un certain nombre d'indéterminées.

[barbu23]

Non qu'est ce tu racontes ? tu ne pollues pas mon fil ! on discute il n'y'a aucun problème ! :happy3: Attends, je vais lire ce que tu m'écris ! :happy3:

[Ben314]

Bonsoir Ben : :happy3:
Regarde si j'ai bien compris un peu ce que tu dis dans ton dernier poste : :happy3:

Donc :

équivaut à :

équivaut à :

Après, qu'est ce qu'on fait Ben ? :happy3:

Aprés, tu "développe" à droite et, comme tu veut que les deux polynômes formels soient égaux, tu dit que les coeffs en les doivent être égaux.
Si tu considère les et les fixés, tu as bien un système d'équations linéaires en et en les ...

[barbu23]

Ben, c'est difficile de faire un developpement à droite ! c'est pas du tout evident ! :hum:
Merci d'avance de botre aide ! :happy3:

[Ben314]

Mathelot , Peux tu me rappeler ce qu'est un resolvant ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

On dit plutot le résultant, mais ça sonne pas mal non plus "resolvant"... :zen:

[Ben314]

Tant que j'y pense, par rapport au notations (pourries je trouve) du bouquin :
Le n est le même du début à la fin donc on le met pas en indice, à part à faire ch..., ça sert à rien.
Tu note une bonne fois pour toute (c'est un monoïde).
Pour , tu note
et tu note le monôme .
Enfin, tu note


L'intérêt, c'est que maintenant, ça :

ça s'écrit comme ça :