Théorème de Noether

[barbu23]

c'est ça non ? :hum:

[Ben314]

Ensuite, si tu tient vraiment à le développer, tu obtient


Donc les équations linéaires sont :
Pour :
Pour :

[Ben314]

c'est ça non ? :hum:

C'est exactement ça.

[barbu23]

Merci Ben ! :happy3:

[barbu23]

Bonjour Ben : :happy3:
Est ce que dans le concret , ce théorème est applicable, vue le nombre et la complexité du système à résoudre ! en plus ce n'est pas un système linéaire à resoudre mais non lineaire ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Bonjour Ben : :happy3:
Est ce que dans le concret , ce théorème est applicable, vue le nombre et la complexité du système à résoudre ! en plus ce n'est pas un système linéaire à resoudre mais non lineaire ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

Je pense que oui, mais en fait, je ne sait pas : il manque le théorème "B1" parlant de racines communes à tout un tas de polynômes.
Or, je ne connais (à peu prés) que la notion de résultant de DEUX polynômes et je ne vois à priori pas comment généraliser à plus de deux...
(le résultant est, quand à lui, tout ce qu'il y a de plus 'calculable' : c'est un (gros) déterminant)

Si tu précise un peu plus les références :

...dans et ...

j'aurais peut-être le temps de jeter un coup d'oeuil...

[mathelot]

re,

c'est un théorème extra(ordinaire) , non ?


Ils disent que les polynomes ne dépendent que de n et de d.

A la limite, celui qui a compris le théorème peut écrire un programme
informatique avec par exemple n=3 (3 indéterminées) et d=3 (on ne dépasse pas des polynômes de degré total de 3)
et sortir la liste effective de ces fameux polynomes.

D'autant que ces polynômes sont à coefficients dans Z.

Et ensuite, on a une belle caractérisation géométrique si le corps de
base est topologique:
un polynôme est réductible si et seulement si ses coefficients sont algébriques et appartiennent à une certaines sous-variété de

conclusion: au fond , on aimerait bien les voir ces polynômes pour de petites valeurs de n et d.
On liste bien les polynômes de Tchebyshev...
C'est (un peu) le défaut de pédagogie de l'université françoise:
beaucoup d'abstraction et pas suffisamment de pratique.

[mathelot]

En fait, j'ai eu la même idée que vous..regardons

si on considère deux indéterminées X et Y et du degré total 2




on peut se dire: c'est un trinome de la variable réelle x



on calcule le





et là se dire:
Si Delta n'est pas un carré parfait, ça ne sera pas du polynôme
mais une expression avec des racines carrées. :hum:

On calcule donc le du qu'on égalise à zéro.







là , ce sont des coeffs a,b,c,d,e,f

en écrivant ça avec 6 indéterminées


on fait la même chose en Y,X, ce qui revient à permuter
a b
d e





ça a l'air à coefficients dans Z..

Pour faire le lien avec l'algèbre linéaire, il faudrait exprimer ces deux
polynomes comme des déterminants (de taille 4 ?)

Pour d=3 (degré 3) et n=3 (3 indéterminées), on peut essayer de faire la même chose avec les formules de Cardan.

[Ben314]

Je pense que, pour le degrés 2, c'est exactement ça,
mais que, pour le degrés 3, c'est pas "toute" la méthode de cardan qu'on utilise (car il n'existe pas de telle méthode pour les degrés >4) mais (sans doute ?) seulement la notion de discriminant (qui elle existe quelque soit le degrés) qui est le résultant d'un polynôme et de sa dérivée.

On peut aussi dans le cas n=2 écrire la matrice (4x5) associée au système linéaire dont parle la preuve, puis les 5 sous déterminant 4x4 et essayer de comprendre comment, partant de ces 5 formes linéaires en a,b,c,d,e,f on peut obtenir ton du cas n=d=2...

P.S. quand j'aurais un peu de temps, je regarderais, mais là, j'ai des copies pour demain sans fautes...

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
@Ben314 :
:
Wolfgang M. Schmidt. Equations over nite elds. An elementary approach.
Springer-Verlag, Berlin, 1976. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 536.
:happy3:

[Ben314]

tient, mathelot, tu as dû te gourrer, je trouve (pour n=d=2)

qui, à part le facteur du début, est symétrique en ,
Je pense que c'est la quantité qui est nulle ssi P est de degrés <2 ou bien réductible.