Theoreme de fonction implicite

[pizzouille]

Bonsoir,

Soit S la surface de niveau 0 de F : U R -> R².

On demande théorème de fonction implicite au point A=(a,b,c) S en le détaillant le plus précisement possible où g(a,b) = c est la fonction implicite utilisée.
Puis de montrer que la surface paramétrée : V x I -> R, (x,y,z) -> (x,y,g(y,z)) est partout régulière et de donner l'équation de son plan tangent en (a,b).

Merci à l'avance de votre aide.

[zygomatique]

salut

ben c'est du cours ....

[pizzouille]

Pour la définition j'ai trouvé, mais comment montré qu'elle est partout régulière et trouver l'equation de son plan tangent ?

[mathelot]

Oui, justement j'aimerais avoir une explication d'une autre personne.

on prend
i) f(x,y,z)=0 relation dans un ouvert connexe non vide de R3

ii) f de classe C1 (à dérivées continues)

iii) la dérivée partielle par rapport à z non nulle , donc dans un voisinage de x,y,z

et on obtient

- un petit ouvert V dans lequel la relation f(x,y,z)=0 équivaut à une fonction
z=g(x,y)

ce n'est pas un théorème difficile, pour la démo, g(x,y) est obtenue comme
point fixe, donc via un passage à la limite, il faut se placer dans un Banach.

à confirmer

[pizzouille]

D'accoord.

[mathelot]

si tu souhaites un cours précis:

"Calcul différentiel" de henri Cartan, chez Hermann éditeur, "théorème des fonction implicites" p 61.