Théorème d'Egoroff

[legeniedesalpages]

Bonjour, j'ai un problème avec cet exemple:

Soit une suite de fonctions définie sur , munie de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue, telle que
[CENTER].[/CENTER]

Alors converge simplement sur vers la fonction nulle, mais il n'existe aucun sous-ensemble de la forme avec de mesure finie où la convergence est uniforme.

Je ne vois pas comment on peut montrer la proposition qui est en gras à la fin de la phrase.

[Pouick]

Alors , si on prend la défintion de la convergence uniforme cela nous donne que
, il existe N tel que

Si tu prives R d'un borelien de mesure finie, tu trouveras toujours un n telle que ta fonction vale 1 sur [n,n+1] et du coup ca fausse la convergence uniforme..

Pour cela tu peux genre dire... que comme B est de mesure finie.. tu peux le mettre dans une boule de rayon M ... et puis du coup pour la fonction conviendra.

[legeniedesalpages]

Si tu prives R d'un borelien de mesure finie, tu trouveras toujours un n telle que ta fonction vale 1 sur [n,n+1] et du coup ca fausse la convergence uniforme..

Pour cela tu peux genre dire... que comme B est de mesure finie.. tu peux le mettre dans une boule de rayon M ... et puis du coup pour la fonction conviendra.

Bonjour Pouick. J'y avais pensé mais le problème c'est que ça marche pas toujours.
Par exemple, je prends l'ensemble des rationnels , on a .
Il n'existe pas de tel que pour , ... et on peut pas mettre dans une boule de rayon .

[Pouick]

Bon certe ..pour la boule c mort.. lol
Mais toutes les fonctions marche quand meme .. puis genre si on prend n= 3 et x =

et bien

Le truc c qu'il suffit que d'un point . Pas besoin de tout l'intervalle..

[legeniedesalpages]

ok merci pouick, je vais essayer de formaliser tout ça.

[Pouick]

lol . Oui c'est ce que j'allais dire. Le plus chiant dans l'histoire, c'est de le mettre sur papier . ^^

[legeniedesalpages]

Je pense que je peux l'exprimer comme ça:

Soit .
Il existe un entier tel que .

En effet, autrement on aurait , ce qui est absurde vu que est de mesure finie.

[Pouick]

Oui ! Ca me semble bien !

[legeniedesalpages]

Théorème d'Egoroff: [I]Soit un espace de mesure finie et une suite de fonctions mesurables qui converge simplement vers . Alors pour tout , il existe tel que .
Montrer que est une suite décroissante d'ensembles mesurables, dont l'intersection est vide.

3) Soit . Déduire de 1) que, pour tout , on peut choisir tel que .

4) En traduisant ce que représente l'ensemble en déduire le théorème d'Egoroff.


Je bloque à la question 3) :hein:

Edit: ne serait-ce pas plutôt de la question 2) qu'il faudrait faire une déduction de ce genre? vu que dans la 2) on montre que la suite est une suite décroissante pour l'inclusion et que tous les termes de cette suite sont de mesure finie, on a

[legeniedesalpages]

ah, je crois que j'ai trouvé en fait :lol2:

La suite de réels positifs a pour limite 0, donc il existe un entier tel que pour tout , .

[quinto]

Bonjour, suppose que c'est le cas :

Soit ton ensemble B est borné auquel cas c'est trivial.

Suppose que ce n'est pas le cas, auquel cas, aue dire, à partir d'un certain rang n, de [n,n+1] inter B ?

[Pouick]

La suite de réels positifs a pour limite 0, donc il existe un entier n(k) tel que pour tout n>n(k)...

Je suis d'accord ^^ .
Et sinon c bon tu as trouvé pour la 4 ?

[legeniedesalpages]

pour la question 4, je crois que oui.

J'ai montré que .

On a aussi:

.

Je fixe ensuite un réel . Il existe un entier tel que . On a alors la relation:

Donc uniformément sur .