Theoreme de dini

[praud]

je cherche a montrer le theoreme de Dini:
Soit K un epsace compact et soit une suite de foncttions continus de K dans .On suppose que la suite converge simplement vers g.pour tout x ,la suite réelle est croissante alors converge uniformement

Soit ET x ,j'ai montré qu'il existe une boule B centré en x et un entier tel que
et que pour tout n>;
.

Comme K est compact,de tout recouvrement d'ouvert, on peut extraire un sous recouvrement finis d'ouvert.Donc K =.Pour chaque,il existe un N(i) qui verifie .Donc je prends le max des N(i) mais comment continuer la demonstration.

[Maxmau]

Bj

"A tout ;) > 0, on peut associer un rang N à partir duquel |fn(y) – g(y)| < ;) pour tout y de K"
Est-ce bien la conclusion à laquelle tu parviens ?
Si oui , c’est terminé
Mais :
As-tu utilisé la croissance de la suite (fn) dans ton raisonnement ?
Sinon il y a nécessairement une faille dans ton raisonnement.

[praud]

Est ce qua ca suffit de dire:
Soit x .x est dans une boule et en prenant le max des N(i) on a

[praud]

la croissance je l'utilise pour dire que la proprieté est vraie pour tout n> car on a

[Maxmau]

Soit ET x ,j'ai montré qu'il existe une boule B centré en x et un entier tel que
et que pour tout n>;
.

C'est dans cette partie que la croissance doit être utilisée
Parce que pour terminer tu n'en as plus besoin

Remarque: il y a aussi une autre façon de procéder

[Maxmau]

Autre façon:
A ;) > o et n entier naturel, tu associes
;)n(;)) l’ensemble des x de K tels que : |fn(x) – g(x)| < ;)
Et tu montres qu’à partir d’un certain rang ;)n(;)) est égal à K

Ind : les ;)n(;)) constituent un recouvrement ouvert de K et ;)n(;)) contenu dans ;)n+1(;))

[praud]

J'ai un autre theoreme de Dini a demontrer
meme hypothese+
On suppose K est inclus dans et que pour tout n(fixé),la fonction est une fonction croissante.
x et

j'ai deja montré qu'il existe un intervalle I ouvert centré en x et qu'il existe un entier tel que poUr tout n>,on a pour tout y
I,.

Mais comment je dois continuer

[Maxmau]

J'ai un autre theoreme de Dini a demontrer
meme hypothese+
On suppose K est inclus dans et que pour tout n(fixé),la fonction est une fonction croissante.
x et

j'ai deja montré qu'il existe un intervalle I ouvert centré en x et qu'il existe un entier tel que poUr tout n>,on a pour tout y
I,.

Mais comment je dois continuer

Je pense que tu peux terminer comme précédemment (avec Borel Lebesgue ...etc...)