Théorème de Dini

[ilikoko123]

salut ^^
on nous sonne une suite d'applications continues d'un compact K dans (F,||.||) un evn , convergeant simplement sur K vers une fonction continue f et telle que est une suite décroissante , montrer que la convergence est uniforme sur K
j'ai pensé que tous les fonction sont continues sur K donc pour un n quelconque on a ou u est un vecteur de K et par convergence simple des fn on conclus la convergence uniforme
c'est clair que je n'ai pas utilisé la décroissance de la suite et je veux découvrir la faute dans mon raisonnement merci

[Matt_01]

L'erreur est que u dépend de n.
Du coup pour démontrer la chose, tu considères la suite u(n) telle que tu la définies : K compact -> sous suite convergente etc

[ilikoko123]

ouii vous avez raison :D je vais suivre cette piste que vous me proposer

[ilikoko123]

l'utilisation de la suite extraite ne m'emmène nulle part :/

[ilikoko123]

ça emmène finalement :D

[pianojo]

Ecrivez la définition de la convergence pour n=0. Le epsilon marche aussi pour n>0, grâce à la décroissance de ||fn-f||, donc on tombe sur une convergence globale ( expression de la définition de la convergence uniforme).

[Kolis]

l'utilisation de la suite extraite ne m'emmène nulle part :/

Si la suite est décroissante et converge vers un réel .
Soit une suite extraite de limite .
Pour on a aussi donc . La continuité de permet alors de dire que converge vers et on termine en utilisant la convergence simple vers 0 de la suite

@pianojo : je ne vois pas du tout ce que tu veux dire par "écrire la convergence pour n=0"

[arnaud32]

considere et
montre que tu as une suite croissante d'ouverts qui recouvrent K

[ilikoko123]

croissante + des ouverts + recouvrent K :faciles
passage au complémentaire --> suite décroissante de fermés dans K dont l'intersection est vide ---> l'un des fermés est vide --> son complémentaire qui est un coincide avec K --> tous les x vérifient une inégalité contenant un --> la décroissance de la suite est enfin utilisée yuppi :ptdr:
très astucieux !!