[Arithmétique] Théorème des 2 carrés

[anthony_unac]

Bonjour,

D'après le théorème des 2 carrés :
****************************************

Théorème des deux carrés (cas général) — Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme intervient à une puissance paire.

Seulement voila si notre entier admet une décomposition en facteur premier dont aucun n'est de la forme que se passe t il ?

Au premier abord j'ai envie de dire que cet entier n'est pas somme de deux carrés d'après le théorème sauf qu'au détour du chemin je tombe la dessus :

[beagle]

tous les facteurs premiers 4k+3 sont ici à la puissance zéro, avec zéro pair?

[anthony_unac]

On botte en touche en disant cela car pour moi et cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près et force est de constater qu'aucun de ces deux facteurs n'est de la forme !
Si vous prétendez qu'il existe des facteurs de la forme citez m'en un !
Si vous élevez ces facteurs "artificiels" à la puissance zéro alors vous obtenez des facteurs 1 qui ne sont pas des nombres premiers donc qui ne peuvent pas apparaitre dans la décomposition de en facteurs premiers

[aymanemaysae]

Bonjour;

votre remarque n'est qu'un cas particulier du Théorème : les valuations des facteurs premiers de la décomposition en facteurs premiers de l'entier naturel considéré de la forme 4k+1 sont nulles, donc paires, donc peuvent se mettre sous la forme de deux carrés.

Il n'y a donc pas de contradiction: Fermat ne jouait pas.

Edit : je m'excuse, je n'avais pas vu les interventions de M. Beagle. J'invite aussi M. Anthony_Unac a revoir la définition de la décomposition d'un entier en facteurs premiers.

[beagle]

ah zut 1 pas premier, j'aurai essayé!
bon le théorème dit nulle part qu'il doit y avoir des 4k+3,
mais s'il y en a alors ils sont en puissance paire, non?

le théorème dit qu'il ne peut pas y avoir de 4k+3 en puissance impair, non?

[anthony_unac]

Donc le théorème des 2 carrés tel que je l'ai écrit est incomplet ?

[aymanemaysae]

Bonjour;
Soit l'ensemble des nombres entiers naturels premiers, la décomposition d'un nombre entier naturel non nul en facteurs premiers est avec : personne au monde, dans le Présent et dans le Futur ne peut mettre à défaut ce Théorème.

[anthony_unac]

et non c'est un produit et non une somme

[beagle]

Donc le théorème des 2 carrés tel que je l'ai écrit est incomplet ?

le théorème est du si et seulement si
c'est une équivalence.
donc quel coté d'implique as-tu invalidé par un contre-exemple?
A= Un entier est somme de deux carrés
B= chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k+3 intervient à une puissance paire.

A implique B
pour invalider , je trouve du A vrai, et B est faux, donc je trouve (il existe un) un facteur premier de la forme 4k+3 en puissance impair
ici tu n'as pas cela

B implique A,
j'ai mes facteurs premiers 4k+3 qui sont tous pairs et bingo j'ai un contre exemple où il n'existe pas une somme de deux carrés
ici tu n'as pas cela

Me gourge?

[aymanemaysae]

re Bonjour;

M. Anthony_Unac, j'ai corrigé la "somme" en "produit": une faute de frappe.

Le théorème tel que vous l'avez écrit est juste, et je redis que le problème réside dans votre définition de la décomposition en facteurs premiers.

[anthony_unac]

Je persiste à dire après relecture de mes sources qu'une décomposition en produit de facteurs premiers est un produit fini de nombres premiers (donc pas de 1).
En revanche, la notion de valuation p-adique nous amène à un produit infini du type 3048641=2^0*3^0*5^0*... mais ceci n'est pas la décomposition en produit de facteurs premiers

[beagle]

Ton contre exemple contredit quel coté de la double implication?
Tu as vu mon message au-dessus?

[anthony_unac]

Donc le théorème des 2 carrés tel que je l'ai écrit est incomplet ?

le théorème est du si et seulement si
c'est une équivalence.
donc quel coté d'implique as-tu invalidé par un contre-exemple?

Je n'ai rien invalidé du tout, je suis juste face à un cas qui ne figure pas dans le théorème tel qu'il est écrit sauf si on considère qu'une décomposition en produit de facteurs premiers est un produit infini avec une infinité de termes = 1

[beagle]

Donc le théorème des 2 carrés tel que je l'ai écrit est incomplet ?

le théorème est du si et seulement si
c'est une équivalence.
donc quel coté d'implique as-tu invalidé par un contre-exemple?

Je n'ai rien invalidé du tout, je suis juste face à un cas qui ne figure pas dans le théorème tel qu'il est écrit sauf si on considère qu'une décomposition en produit de facteurs premiers est un produit infini avec une infinité de termes = 1

non non
A implique B
ou B implique A
lequel te gène????
une équivalence c'est deux cotés, lequel te pose problème
le théorème ne parle que de ce qui est dedans, donc toi t'es où dans le théorème????

[beagle]

on peut considérer que le théorème dit sans le dire tout en le disant:"s'il n' ya pas de facteur premiers 4k+3, alors il ya toujours somme de deux carrés", s'il ya du 4k+3 l'a qu'a bien se tenir = puissance pair

[Robot]

anthony_unac, tu devrais apprendre un petit peu de logique.

le théorème dit :

Pour tout entier n>0,
n est somme de deux carrés (proposition A)
si et seulement si
pour tout nombre premier p de la forme 4k+3 qui divise n,, la valuation p-adique de n est paire. (proposition B)

Pour ton nombre 3048641, la proposition A est vraie, et la proposition B aussi (puisque 3048641 n'a aucun diviseur premier de la forme 4k+3).
Où est ton problème ?

[anthony_unac]

anthony_unac, tu devrais apprendre un petit peu de logique.

le théorème dit :

Pour tout entier n>0,
n est somme de deux carrés (proposition A)
si et seulement si
pour tout nombre premier p de la forme 4k+3 qui divise n,, la valuation p-adique de n est paire. (proposition B)

Pour ton nombre 3048641, la proposition A est vraie, et la proposition B aussi (puisque 3048641 n'a aucun diviseur premier de la forme 4k+3).
Où est ton problème ?

Ou est ce qu'il y a écrit : "la valuation p-adique de n est paire" dans le théorème tel que je l'ai écrit ?

[anthony_unac]

on peut considérer que le théorème dit sans le dire tout en le disant:"s'il n' ya pas de facteur premiers 4k+3, alors il ya toujours somme de deux carrés", s'il ya du 4k+3 l'a qu'a bien se tenir = puissance pair

Dire sans le dire tout en disant c'est pas trop mon truc !
Pour mettre tout le monde d'accord on va dire que le théorème est à prendre au sens de la valuation p-adique.

[beagle]

on peut considérer que le théorème dit sans le dire tout en le disant:"s'il n' ya pas de facteur premiers 4k+3, alors il ya toujours somme de deux carrés", s'il ya du 4k+3 l'a qu'a bien se tenir = puissance pair

Dire sans le dire tout en disant c'est pas trop mon truc !
Pour mettre tout le monde d'accord on va dire que le théorème est à prendre au sens de la valuation p-adique.

perso j'ai pas parlé de p-adique
il y avait deux implications
donc deux réfutations possibles
et ton exemple ne réfute rien
donc????????

[anthony_unac]

donc???????

On se débrouille autrement en observant par exemple que :
or et sont des nombres premiers de Pythagore donc ils s'écrivent comme une somme de deux carrés et effectivement :

On conclut simplement avec l'identité de Diophante :