Théorème chinois

[jeje56]

Bonjour ! Dois-je te rappeller encore le réglement de notre forum !

Soit f l’application définie par
f : Z Z/pZ × Z/qZ
x (x1,x2)
On vérifie aisément que f est un morphisme d’anneaux ;
Déterminons alors son noyau. Soit x Z tel que f(x) = (01,02). Alors on a simultanément x = 01
et x = 02, c’est-à-dire p et q divisent x. Or p;)q = 1 par hypothèse, donc la produit pq divise aussi
x, de sorte que x pqZ, et le noyau recherché n’est autre que pqZ

L’application quotient f' : Z/pqZ Z/pZ×Z/qZ est donc injective, et les deux ensembles ont
même cardinal, donc f est bijective, d’où Z/pqZ =
Z/pZ × Z/qZ

Pourquoi ne pas conclure directement sur la bijectivité de f' par le th de décomposition canonique ? f est bien surjectif non ?
Pourquoi f' est-il injectif ?

Merci bcp de votre aide !

[busard_des_roseaux]

Pourquoi ne pas conclure directement sur la bijectivité de f' par le th de décomposition canonique

oui, c plus joli.

[jeje56]

Le pb c'est que je n'en suis pas sûr... A plusieurs endroits je vois la preuve telle que je l'ai écrite...

Merci !