Théorème de Cauchy (complexe)

[Yezu]

Bonsoir,

Je fais un exo qui m'a l'air complètement évident mais l'énoncé ne .. le suggère pas.

En gros, je dois intégrer sur des lacets différents.

Selon moi, est analytique (holomorphe) sur et donc l'intégrale sur n'importe quel chemin fermé de donne 0, par le théorème de Cauchy.
Mais au regard de l'énoncé, je dois calculer l'intégrale sur des tas de chemins fermés, un peu comme si je devais obtenir un résultat différent.

Me trompe-je ? Ou alors c'est l'exercice qui est "inutile" dans la mesure où par simple application de Cauchy, on obtient 0 à chaque fois.

Merci pour vos indications.

Edit : les chemins en questions sont :
- un cercle centré en 0 de rayon 1 parcouru dans le sens anti-horaire
- le rectangle de cotés (1,0); (1,1+i); (-1,-1+i) et (-1,-1-i) parcouru dans le sens anti-horaire
- le demi cercle centré en 0, de rayon 1 parcouru dans le sens anti-horaire
- un cardioide d'équation polaire .

[aviateur]

Slt et bien c'est clair qu'il te reste à calculer les intégrales sur les chemins donnés. Au moins tu as la réponse pour 1et 2.
Commence à dire comment tu t'y prends on verra ensuite

[aviateur]

J'ai pas fait attention mais ça fait pas zéro à chaque fois comme tu l' as dit tout au moins pas par le th de cauchy.

[Yezu]

Bonjour aviateur,

Oui ... mais justement, si j'ai bien compris mon cours, les 4 chemins en question sont fermés (le parcours 3 correspond au demi-cercle + une droite qui rejoint le point -1 au point 1 et le cardioide est fermé également). Donc étant donné que la fonction à intégrer est analytique sur tout entier, par application de Cauchy, toutes les intégrales sont nulles. Est-ce que je me trompe ?

C'est sur que si c'était pas fermé, il aurrait fallu paramétriser les chemins + intégrales curvilignes ...

[aviateur]

Oui tu as raison pour le 3) j'avais considéré le demi cercle seulement mais on parle de lacet.
Bon c'est vrai que dans ce cas ça fait zéro tjrs . Mais alors il faut voir si le but de l'exercice c'est de vérifier que c'est bien vrai par le calcul. Alors il faut se taper les calculs mais aucun n'est compliqué. Alors perso je passerai à autre chose. Mais évidement c'est peut être pour voir si tu sais calculer.

[Yezu]

Effectivement, je n'y avais pas pensé : peut-être que l'énoncé cherche juste à montrer que le théorème de Cauchy s'applique bien en calculant les intégrales curvilignes ..

Merci de ta confirmation Aviateur !

Bonne fin de semaine,

Yezu