On demande de calculer L'intégral
Merci pour tte suggestion!!
Intégral: Théorème de Cauchy
20 messages
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Intégral: Théorème de Cauchy
par cevas » 25 Juil 2014, 22:17
Bonjour,
On demande de calculer L'intégral \, dx)
sachant que 
pour un 
.
Merci pour tte suggestion!!
On demande de calculer L'intégral
Merci pour tte suggestion!!
par Pythales » 26 Juil 2014, 11:22
cevas a écrit:Bonjour,
On demande de calculer L'intégral
Merci pour tte suggestion!!
Pose
par Maxmau » 26 Juil 2014, 14:59
cevas a écrit:Bonjour,
On demande de calculer L'intégral
Merci pour tte suggestion!!
bonjour
je mets t en place de lambda
une suggestion:
remarque que ton intégrale est la partie réelle de l'intégrale de Exp(-x²+itx)
Calcule alors l'intégrale de la fonction holomorphe Exp(-z²) sur le contour du rectangle de sommets: 0 , R , R - iu , -iu (cette intégrale est nulle d'après Cauchy) avec u bien choisi en fonction de t. Puis fais tendre R vers infini.
par deltab » 26 Juil 2014, 15:09
Bonjour.
L'énoncé de l'exercice n'est pas très clair concernent sa fin. Il valait mieux l'énoncer sous la forme:
On demande de calculer pour, l'intégrale sachant que .
Concernant les calculs, calcules même)
, tu aura à résoudre ensuite une équation différentielle. Tu peux dans un temps ne pas justifier le calcul des dérivées de 
.
Concernant la frappe il vaut mieux remplacer \lambda par t comme l'a fait Maxmau
cevas a écrit:Bonjour,
On demande de calculer L'intégral
Merci pour tte suggestion!!
L'énoncé de l'exercice n'est pas très clair concernent sa fin. Il valait mieux l'énoncer sous la forme:
On demande de calculer pour
Concernant les calculs, calcules même
Concernant la frappe il vaut mieux remplacer \lambda par t comme l'a fait Maxmau
par cevas » 26 Juil 2014, 20:57
Maxmau a écrit:bonjour
je mets t en place de lambda
une suggestion:
remarque que ton intégrale est la partie réelle de l'intégrale de Exp(-x²+itx)
Calcule alors l'intégrale de la fonction holomorphe Exp(-z²) sur le contour du rectangle de sommets: 0 , R , R - iu , -iu (cette intégrale est nulle d'après Cauchy) avec u bien choisi en fonction de t. Puis fais tendre R vers infini.
La paramètrisation que j'utilise est la suivante:
Mais je n'aboutis pas! Est ce que je me trompe quelque part?
par Maxmau » 27 Juil 2014, 07:36
cevas a écrit:La paramètrisation que j'utilise est la suivante:pour
pour
pour
pour
Mais je n'aboutis pas! Est ce que je me trompe quelque part?
t paramètre
pour le troisième morceau prends: z = t - iu
pour le quatrième prends: z = it
L'intégrale de Exp(-z²) sur le deuxième morceau [R , R -iu] doit tendre vers zéro pour R infini
L'intégrale sur le quatrième morceau [-iu,0] est un imaginaire pur
L'intégrale que tu cherches apparait sur le troisième morceau (avec u = lambda/2 je crois)
en séparant partie réelle et partie imaginaire ds l'égalité donnée par cauchy, tu devrais conclure
par Pythales » 27 Juil 2014, 09:57
Maxmau a écrit:t paramètre
pour le troisième morceau prends: z = t - iu
pour le quatrième prends: z = it
L'intégrale de Exp(-z²) sur le deuxième morceau [R , R -iu] doit tendre vers zéro pour R infini
L'intégrale sur le quatrième morceau [-iu,0] est un imaginaire pur
L'intégrale que tu cherches apparait sur le troisième morceau (avec u =- lambda/2 je crois)
en séparant partie réelle et partie imaginaire ds l'égalité donnée par cauchy, tu devrais conclure
Moi j'aurais dit
et j'aurais intégré de -R à +R puis de +R à R+iu puis de R+iu à -R+iu et enfin de -R+iu à -R, le tout donnant évidemment 0
par deltab » 27 Juil 2014, 14:02
Bonjour.
En calculant)
, 1ère indication de Pythales (par dérivation sous le signe intégral (pas difficile à justifier) en intégrant ensuite par parties , on arrive à un autre problème de Cauchy à savoir =\dfrac{t}{2}F(t) \\ F(0)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2})
dont la solution est=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\cos(tx) dx =\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}e^{t^2 /4})
.
En calculant
par cevas » 27 Juil 2014, 15:42
deltab a écrit:Bonjour.
En calculant
Est-ce bien
par cevas » 27 Juil 2014, 15:52
deltab a écrit:oui, reste à justifier cette égalité.
Tu veux dir qu'il faut voir si la fonction à l'interieur de l'integral est uniformement continue en t?
par Maxmau » 27 Juil 2014, 16:12
deltab a écrit:Bonjour.
En calculant
Avec la méthode que j'ai proposée (intégration sur un contour bien choisi) j'obtiens le "même" résultat mais avec un signe "moins" dans l'exponentielle.
Où est l'erreur ? chez moi ou chez toi?
par deltab » 27 Juil 2014, 16:55
Maxmau a écrit:Avec la méthode que j'ai proposée (intégration sur un contour bien choisi) j'obtiens le "même" résultat mais avec un signe "moins" dans l'exponentielle.
Où est l'erreur ? chez moi ou chez toi?
Que chacun vérifie ses calculs et on verra bien.
Je viens de vérifier les miens et c'est moi qui ai commis l'erreur (de signe dans l'IPP) et on obtient
Cette solution ne nécessite pas des connaissances sur les fonctions à variable complexe et utilise les propriétés des intégrales impropres dépendant d'un paramètre, notions qu'on voit habituellement avant les fonctions à variable complexe même si c'est dans un même cours
par MacManus » 27 Juil 2014, 20:26
En introduisant cette fois-ci l'exponentielle complexe, on pose  = \Re(e^{i \lambda x}))
. Intégrer la partie réelle revient à considérer la partie réelle de l'intégrale. De plus, on a :
^2-\frac{\lambda^2}{4}} = e^{-(x-i\frac{\lambda}{2})^2} e^{-\frac{\lambda^2}{4}})
ce qui donne
 dx \quad = \quad \frac{1}{2}e^{-\frac{\lambda^2}{4}} \quad \Re\left(\int_{- \infty}^{+ \infty}e^{-(x-i\frac{\lambda}{2})^2}dx\right))
En effectuant le changement de variable
, l'expression entre parenthèse donne l'intégrale de Gauss qui vaut 
D'où le résultat.
ce qui donne
En effectuant le changement de variable
D'où le résultat.
par Doraki » 27 Juil 2014, 20:37
MacManus a écrit:En effectuant le changement de variable
D'où le résultat.
tu peux préciser ?
par MacManus » 27 Juil 2014, 21:31
Oui. Je considère la variable complexe z=x+iy et j'utilise le fait que l'application =x-i\frac{\lambda}{2})
, avec 
admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport aux variables x et y.
En notant P(x,y) et Q(x,y) les parties réelle et imaginaire de u, on a:
u(x,y)=P(x,y)+iQ(x,y)
u est différentiable et les équations de Cauchy-Riemann sont vérifiées.
Donc u est holomorphe et on a :
 = \frac{1}{2}(1-i^2) = 1)
Donc le jacobien vaut 1.
En notant P(x,y) et Q(x,y) les parties réelle et imaginaire de u, on a:
u(x,y)=P(x,y)+iQ(x,y)
u est différentiable et les équations de Cauchy-Riemann sont vérifiées.
Donc u est holomorphe et on a :
Donc le jacobien vaut 1.
par Doraki » 28 Juil 2014, 07:25
J'ai pas compris, ton changement de variable c'est u(x+iy) = x+iy ou c'est u(x+iy) =x-i;)/2 ?
par MacManus » 28 Juil 2014, 08:32
Oui je crois que je me suis embrouillé avec mon changement de variable. Si c'est u(x+iy)=x+iy c'est ok, mais ce n'est pas ce qu'on veut. Je me demande si c'est nécessaire ou bien s'il y a une autre façon de montrer le résultat. Je peux peut-être considérer l'expression entre parenthèses comme une fonction du paramètre 
et dériver sous le signe intégral par rapport à ...
par Doraki » 28 Juil 2014, 08:39
Je pensais que tu parlais de u(x+iy) = u(x+iy-;)/2), mais dans ce cas les bornes deviennent "-l'infini+i;)/2" et '+l'infini+i;)/2" (donc en fait tu intègres sur une ligne horizontale au dessus de l'axe des réels)
Comme le truc que tu intègres tend vers 0 quand |Re(z)| tend vers l'infini, et qu'il n'a pas de résidu, les deux intégrales sont égales, mais ça doit ressembler au final à la solution de maxmau.
Comme le truc que tu intègres tend vers 0 quand |Re(z)| tend vers l'infini, et qu'il n'a pas de résidu, les deux intégrales sont égales, mais ça doit ressembler au final à la solution de maxmau.
par MacManus » 28 Juil 2014, 09:30
D'accord, je comprends ta remarque.
Sinon, si je considère la fonction f : (x,;)) --> exp[-(x-i(;)/2))²] pour tout x réel et pour
dans [-a,a] avec a>0, elle est continue et intégrable sur R. Elle admet une dérivée partielle par rapport à et on a :
f/;);) = -2(-i/2) (x-i(;)/2)) exp[-(x-i(;)/2))²] = i (x-i(;)/2)) exp[-(x-i(;)/2))²]
les dérivées partielles sont continues en chacune de leur variable et
|;)f/;);)|
sqrt(x²+(a²/4)) exp[-x²+(a²/4)] qui est continue, positive et intégrable sur R.
Donc d'après le théorème de dérivabilité sous le signe intégral,f/;);) est intégrable et de classe C1 sur R et pour tout réel dans [-a,a], on a:
I'(;)) =dx = \int_{- \infty}^{+ \infty}i (x-i\frac{\lambda}{2}) e^{-(x-i\frac{\lambda}{2})^2}dx = \left[e^{-(x-i\frac{\lambda}{2})^2}\right]_{- \infty}^{+ \infty}=0)
(quand x tend vers l'infini).
Donc I est constante sur R et I(;))=I(0)=.
Sinon, si je considère la fonction f : (x,;)) --> exp[-(x-i(;)/2))²] pour tout x réel et pour
dans [-a,a] avec a>0, elle est continue et intégrable sur R. Elle admet une dérivée partielle par rapport à et on a :f/;);) = -2(-i/2) (x-i(;)/2)) exp[-(x-i(;)/2))²] = i (x-i(;)/2)) exp[-(x-i(;)/2))²]les dérivées partielles sont continues en chacune de leur variable et
|;)f/;);)|
Donc d'après le théorème de dérivabilité sous le signe intégral,
f/;);) est intégrable et de classe C1 sur R et pour tout réel dans [-a,a], on a:I'(;)) =
(quand x tend vers l'infini).
Donc I est constante sur R et I(;))=I(0)=
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