Théorème de Baire

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JackxSummer
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Théorème de Baire

par JackxSummer » 27 Oct 2015, 20:28

Est-ce-que le théorème de Baire valable dans un espace topologique quelconque ou seulement dans un espace complet ?.



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mathelot
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par mathelot » 27 Oct 2015, 20:56

JackxSummer a écrit:Est-ce-que le théorème de Baire valable dans un espace topologique quelconque ou seulement dans un espace complet ?.


d'après le wiki, on peut supposer "localement compact".

MouLou
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par MouLou » 27 Oct 2015, 21:25

Non il y'en a d'autres, d'ailleurs on parle d'espace de Baire lorsque la propriété de Baire est vérifiée :).

Les espaces complet sont donc des espaces de Baire

JackxSummer
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par JackxSummer » 27 Oct 2015, 21:44

Parce-que qlq ouvrages supposent que l'espace topologique soit complet mais dans la démonstration la complétude n'est pas utilisée.

MouLou
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par MouLou » 27 Oct 2015, 22:22

JackxSummer a écrit:Parce-que qlq ouvrages supposent que l'espace topologique soit complet mais dans la démonstration la complétude n'est pas utilisée.


La preuve la plus classique utilise la complétude en introduisant une suite de Cauchy. De quel ouvrage parle tu par exemple?

JackxSummer
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par JackxSummer » 27 Oct 2015, 22:35

MouLou a écrit:La preuve la plus classique utilise la complétude en introduisant une suite de Cauchy. De quel ouvrage parle tu par exemple?

Bernard Aupetit, A Primer on Spectral Theory.
Jacques Dixmier, General Topology.
Fred H. Croom, Principles of Topology.
Gerard Buskes & Arnoud van Rooij, TOPOLOGICAL SPACES From Distance to Neighborhood.
etc...

MouLou
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par MouLou » 27 Oct 2015, 23:06

J'ai regardé le Diximer, il utilise la complétude via le théorème des fermés emboités non?

JackxSummer
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par JackxSummer » 27 Oct 2015, 23:35

MouLou a écrit:J'ai regardé le Diximer, il utilise la complétude via le théorème des fermés emboités non?

Il a dit:
Letbe a complete metric space,,... a sequence of dense open subsets of. Then · · · is dense in .

JackxSummer
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par JackxSummer » 27 Oct 2015, 23:42

MouLou a écrit:J'ai regardé le Diximer, il utilise la complétude via le théorème des fermés emboités non?

Oui, il utilise le théorème des fermés emboités.

MouLou
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par MouLou » 27 Oct 2015, 23:59

La complétude est donc belle et bien utilisée. Avec les fermés emobités tu as besoin de la complétude. Tu peux a la rigueur t'en défaire si tes fermés sont convexes.

Peut etre alors localement convexe peut marcher mais je peux pas trop dire de plus, wiki sait surement mieux

JackxSummer
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par JackxSummer » 28 Oct 2015, 00:05

MouLou a écrit:La complétude est donc belle et bien utilisée. Avec les fermés emobités tu as besoin de la complétude. Tu peux a la rigueur t'en défaire si tes fermés sont convexes.

Peut etre alors localement convexe peut marcher mais je peux pas trop dire de plus, wiki sait surement mieux

Mais est-ce-que possible de la démontrer sans la notion de complétude, seulement par les voisinages.?

MouLou
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par MouLou » 28 Oct 2015, 00:17

Tu reprends la même démo je pense: A l'intersection des ouverts, O un ouvert de E, alors tu veux montrer que est non vide: alors par densité de tu trouves x dans
, ET LA, au lieu de prendre une boule fermée, tu prends un voisinnage compact inclus dans (ouvert), et rebelotte. La ou ça va marcher c'est que l'intersection de compacts est compact et t'auras une suite d'un compact qui aura une valeur d'adhérence. Donc l'intersection sera non vide

Pour la preuve propre tu peux voir Queffelec, Topologie

JackxSummer
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par JackxSummer » 28 Oct 2015, 00:22

MouLou a écrit:Tu reprends la même démo je pense: A l'intersection des ouverts, O un ouvert de E, alors tu veux montrer que est non vide: alors par densité de tu trouves x dans
, ET LA, au lieu de prendre une boule fermée, tu prends un voisinnage compact inclus dans (ouvert), et rebelotte. La ou ça va marcher c'est que l'intersection de compacts est compact et t'auras une suite d'un compact qui aura une valeur d'adhérence. Donc l'intersection sera non vide

Pour la preuve propre tu peux voir Queffelec, Topologie

On n'a pas le droit d'utiliser la notion de boule si on est dans un espace topologique quelconque. (C'est mon cas)

MouLou
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par MouLou » 28 Oct 2015, 00:38

JackxSummer a écrit:On n'a pas le droit d'utiliser la notion de boule si on est dans un espace topologique quelconque. (C'est mon cas)


Je prends pas de boule, je prend un voisinage compact, j'ai le droit

JackxSummer
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par JackxSummer » 28 Oct 2015, 00:48

Oui j'ai comprend, par exemple, pour , soit on a,
on a ouvert, donc soit tel que et on construit une suite de voisinages de telle que , et on fait l'intersection, on trouve , et par passage au complémentaire, on trouve , ce qui donne,


????????

MouLou
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par MouLou » 28 Oct 2015, 01:03

je ne comprends pas ta première affirmation: soit on a, , x est au moins dans l'intersction, puis même, a la rigueur il existerait un voisinnage, et puis même interieur non vide ne signifie que tous les points sont isolés

JackxSummer
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par JackxSummer » 28 Oct 2015, 01:13

MouLou a écrit:je ne comprends pas ta première affirmation: soit on a,

On dit que est intérieur à si il existe un voisinage de (on prend par exemple un voisinage ouvert) tel que soit contenu dans . Si ceci donne, quelque soit (voisinage ouvert de x):

MouLou
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par MouLou » 28 Oct 2015, 01:18

JackxSummer a écrit:On dit que est intérieur à si il existe un voisinage de (on prend par exemple un voisinage ouvert) tel que soit contenu dans . Si ceci donne, quelque soit (voisinage ouvert de x):


tu vois bien que c'est n'importe quoi, x est dans l'intersection deja...

JackxSummer
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par JackxSummer » 28 Oct 2015, 01:31

MouLou a écrit:tu vois bien que c'est n'importe quoi, x est dans l'intersection deja...

Oui, je la corrigée.

MouLou
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par MouLou » 28 Oct 2015, 01:38

Hmm comment tu justifies que l'intersection des Wk est non vide? c'est la qu'il faut les prendre compacts je pense

 

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