Théorème de Baire

par **JackxSummer** » 27 Oct 2015, 19:28

Est-ce-que le théorème de Baire valable dans un espace topologique quelconque ou seulement dans un espace complet ?.

par **mathelot** » 27 Oct 2015, 19:56

JackxSummer a écrit:Est-ce-que le théorème de Baire valable dans un espace topologique quelconque ou seulement dans un espace complet ?.

d'après le wiki, on peut supposer "localement compact".

par **MouLou** » 27 Oct 2015, 20:25

Non il y'en a d'autres, d'ailleurs on parle d'espace de Baire lorsque la propriété de Baire est vérifiée :).

Les espaces complet sont donc des espaces de Baire

par **JackxSummer** » 27 Oct 2015, 20:44

Parce-que qlq ouvrages supposent que l'espace topologique soit complet mais dans la démonstration la complétude n'est pas utilisée.

par **MouLou** » 27 Oct 2015, 21:22

JackxSummer a écrit:Parce-que qlq ouvrages supposent que l'espace topologique soit complet mais dans la démonstration la complétude n'est pas utilisée.

La preuve la plus classique utilise la complétude en introduisant une suite de Cauchy. De quel ouvrage parle tu par exemple?

par **JackxSummer** » 27 Oct 2015, 21:35

MouLou a écrit:La preuve la plus classique utilise la complétude en introduisant une suite de Cauchy. De quel ouvrage parle tu par exemple?

Bernard Aupetit, A Primer on Spectral Theory.
Jacques Dixmier, General Topology.
Fred H. Croom, Principles of Topology.
Gerard Buskes & Arnoud van Rooij, TOPOLOGICAL SPACES From Distance to Neighborhood.
etc...

par **MouLou** » 27 Oct 2015, 22:06

J'ai regardé le Diximer, il utilise la complétude via le théorème des fermés emboités non?

par **JackxSummer** » 27 Oct 2015, 22:35

MouLou a écrit:J'ai regardé le Diximer, il utilise la complétude via le théorème des fermés emboités non?

Il a dit:
Let

be a complete metric space,

,... a sequence of dense open subsets of

. Then

· · · is dense in

.

par **JackxSummer** » 27 Oct 2015, 22:42

MouLou a écrit:J'ai regardé le Diximer, il utilise la complétude via le théorème des fermés emboités non?

Oui, il utilise le théorème des fermés emboités.

par **MouLou** » 27 Oct 2015, 22:59

La complétude est donc belle et bien utilisée. Avec les fermés emobités tu as besoin de la complétude. Tu peux a la rigueur t'en défaire si tes fermés sont convexes.

Peut etre alors localement convexe peut marcher mais je peux pas trop dire de plus, wiki sait surement mieux

par **JackxSummer** » 27 Oct 2015, 23:05

MouLou a écrit:La complétude est donc belle et bien utilisée. Avec les fermés emobités tu as besoin de la complétude. Tu peux a la rigueur t'en défaire si tes fermés sont convexes.

Peut etre alors localement convexe peut marcher mais je peux pas trop dire de plus, wiki sait surement mieux

Mais est-ce-que possible de la démontrer sans la notion de complétude, seulement par les voisinages.?

par **MouLou** » 27 Oct 2015, 23:17

Tu reprends la même démo je pense: A l'intersection des ouverts, O un ouvert de E, alors tu veux montrer que

est non vide: alors par densité de

tu trouves x dans

, ET LA, au lieu de prendre une boule fermée, tu prends un voisinnage compact inclus dans

(ouvert), et rebelotte. La ou ça va marcher c'est que l'intersection de compacts est compact et t'auras une suite d'un compact qui aura une valeur d'adhérence. Donc l'intersection sera non vide

Pour la preuve propre tu peux voir Queffelec, Topologie

par **JackxSummer** » 27 Oct 2015, 23:22

MouLou a écrit:Tu reprends la même démo je pense: A l'intersection des ouverts, O un ouvert de E, alors tu veux montrer que est non vide: alors par densité de tu trouves x dans
, ET LA, au lieu de prendre une boule fermée, tu prends un voisinnage compact inclus dans (ouvert), et rebelotte. La ou ça va marcher c'est que l'intersection de compacts est compact et t'auras une suite d'un compact qui aura une valeur d'adhérence. Donc l'intersection sera non vide

Pour la preuve propre tu peux voir Queffelec, Topologie

On n'a pas le droit d'utiliser la notion de boule si on est dans un espace topologique quelconque. (C'est mon cas)

par **MouLou** » 27 Oct 2015, 23:38

JackxSummer a écrit:On n'a pas le droit d'utiliser la notion de boule si on est dans un espace topologique quelconque. (C'est mon cas)

Je prends pas de boule, je prend un voisinage compact, j'ai le droit

par **JackxSummer** » 27 Oct 2015, 23:48

Oui j'ai comprend, par exemple, pour

,

soit

on a,

on a

ouvert, donc soit

tel que

et on construit une suite de voisinages de

telle que

, et on fait l'intersection, on trouve

, et par passage au complémentaire, on trouve

, ce qui donne,

????????

par **MouLou** » 28 Oct 2015, 00:03

je ne comprends pas ta première affirmation: soit

on a,

, x est au moins dans l'intersction, puis même, a la rigueur il existerait un voisinnage, et puis même interieur non vide ne signifie que tous les points sont isolés

par **JackxSummer** » 28 Oct 2015, 00:13

MouLou a écrit:je ne comprends pas ta première affirmation: soit on a,

On dit que

est intérieur à

si il existe un voisinage

de

(on prend par exemple un voisinage ouvert) tel que

soit contenu dans

. Si

ceci donne, quelque soit

(voisinage ouvert de x):

par **MouLou** » 28 Oct 2015, 00:18

JackxSummer a écrit:On dit que est intérieur à si il existe un voisinage de (on prend par exemple un voisinage ouvert) tel que soit contenu dans . Si ceci donne, quelque soit (voisinage ouvert de x):

tu vois bien que c'est n'importe quoi, x est dans l'intersection deja...

par **JackxSummer** » 28 Oct 2015, 00:31

MouLou a écrit:tu vois bien que c'est n'importe quoi, x est dans l'intersection deja...

Oui, je la corrigée.

par **MouLou** » 28 Oct 2015, 00:38

Hmm comment tu justifies que l'intersection des Wk est non vide? c'est la qu'il faut les prendre compacts je pense

Théorème de Baire

Théorème de Baire

Qui est en ligne