Espace de baire

[bouloulou]

salut
un produit qlq des espaces de baire est il un espace de baire ?

est ce quelqu'un peut m'aider sur l'origine de la theoreme de baire comment etait le developpement du theoreme
merci

[tize]

Bonjour,
j'espère ne pas trop m'avancer en disant que : OUI.
Un ouvert d'un espace produit est constitué d'un nombre fini d'ouverts complétés par le produit des autres espaces...pour la rédaction, et en prenant un cas plus général, essayons de voir si la propriété de Baire est vérifiée pour des produits quelconque d'ouverts (qui n'est pas en général ouvert):
Si les sont des espaces de Baire et pour tout les sont des ouverts denses de alors tout d'abord, il est évident que , il faut trouver le plus petit fermé qui le contient.
D'après ce qui a été écrit au premier paragraphe, on en déduit qu'un fermé d'un espace produit est constitué d'un produit fini de fermés et complété par des espaces vides (ou alors c'est l'espace produit tout entier) et comme est dense dans aucun des fermés constitués de produits finis de fermés ne peut contenir dont la fermeture est donc qui est donc de Baire.

[bouloulou]

salut
mais un ferme dans un espace topologique produit n'est pas comme vous avez citez.par exemple pour que (x,y) appartienne au complémantaire de A*B il suffit que x ne soit pas dans A ou que y ne soit pas dans B.Et on dit qu'un produit qlq de ferme est un ferme.
mais on peut utiliser le fait que l'adherence de produit est le produit des adherences et c'est dans ce cas l'espace tout entier.je crois qu'il fait marcher.

[tize]

Oui effectivement, j'ai voulu aller trop vite...
Mais comment montrer alors que l'adhérence d'un produit quelconque est le produit des adhérences (pour un espace topologique quelconque) ?

C'est le seul point délicat à montrer, le reste sera après évident...

[bouloulou]

*=le produit.
montrons que le produit des adherencs est un ferme. soit x=(xi) un elément du complémentaire des produits des adherences donc il existe i tel que xi est dans le complementaire de l'adherence de Ai qui est un ouvert alors il existe un voisinage Vi de xi inclus dans le complémentaire de Ai,or le produit de Vi complété par l'espace est un voisinage de x et il est inclus dans le complémentaire des produits des adherences d'ou la fermeture de produit.
on sait que *Ai est inclus dans produit des adherences de Ai alors le produit des adherences de Ai contient la fermeture de *Ai
l'autre sens on prend un point dans la fermeture de *Ai et son voisinage qlq l'intersection est non vide

[bouloulou]

tize j'attends ta réponse.pas d'erreurs?
est ce qu'on peut m'aider sur l'origine du théorème?
merci

[tize]

Bonjour,
tu as donc montrer (si j'ai bien compris) au début dans ton avant dernier message que en montrant que est un fermé qui contient .
Par contre pour l'inclusion réciproque:

l'autre sens on prend un point dans la fermeture de *Ai et son voisinage qlq l'intersection est non vide

il faudrait plutôt prendre un point dans le produit des adhérences de : et un voisinage ouvert de ; il existe donc des ouverts tels que et sauf pour un nombre fini de et comme , (axiome du choix) donc et on a l'inclusion réciproque.

Avec tout ceci on sait maintenant que le produit des adhérences est égal à l'adhérence des produits (***) et on peut conclure :
Soient des ouverts denses de . On a pour tout entier et les sont des ouverts et sauf pour un nombre fini de et il n'y a plus qu'à montrer grâce à (***) que