Bonjour, je cherche à comprendre la démonstration de ce théorème:
Théorème d'Ascoli:
Soient 
et 
deux espaces métriques compacts et soit 
une partie de l'espace )
muni de la topologie de la convergence uniforme.
Dire que est également continu équivaut à dire que est relativement compact dans .démonstration:1°/ On suppose
également continu; pour montrer que
est compact, il suffit de démontrer que toute suite infinie
d'éléments de
contient une suite partielle qui converge dans
; comme
est complet (puisque
l'est), il suffit même de montrer que
contient une suite partielle de Cauchy.
Soit
un module de continuité commun à toutes les
. Pour tout
, il existe un recouvrement fini de
par les boules ouvertes de rayon
et de centres
)
.
Comme
est compact, on peut extraire de
une sous-suite
)
telle que, pour toutes
et
)
, on ait:
(1) [CENTER]
,g(x))\leq \varphi(\varepsilon))
au point
.[/CENTER]
De cette suite
on peut extraire une suite
)
possédant la même propriété au point
; et ainsi de suite. Au bout de
opérations, on aura construit une sous-suite
)
vérifiant l'inégalité (1) en chacun des points
.
Or par construction, pour tout
, il existe un point
tel que
[CENTER]
 \leq \varepsilon)
,[/CENTER]
ce qui entraîne [CENTER]
,f(x_i)) \leq \varphi(\varepsilon))
pour toutes
.[/CENTER]
Pour toutes
)
on a donc,
,g(x)) \leq d_Y(f(x),f(x_i)) + d_Y(f(x_i),g(x_i)) + d_Y(g(x_i),g(x)) \leq 3\varphi(\varepsilon))
,
autrement dit on a
(2) [CENTER]
 \leq 3\varphi(\varepsilon))
.[/CENTER]
On a donc mis en évidence un procédé qui associe à toute suite
une sous-suite
)
dont deux éléments quelconques
vérifient la relation (2).
Il suffit d'itérer ce procédé en donnant à
les valeurs successives
)
pour obtenir les suites successives:
[CENTER]
, S(1,1/2), \cdots , S(1,1/2, \cdots, 1/n), \cdots)
[/CENTER]
dont chacune est sous-suite de la précédente.
Comme les
)
ont pour limite 0, la suite diagonale de cette suite de suites est une suite de Cauchy.. C'est la suite cherchée.
2°/ Soit
un sous-ensemble compact de
.
Pour tout
, il existe une suite finie
)
de points de
telle que les boules ouvertes
)
constituent un recouvrement ouvert de
.
Pour chacune de ces
, il existe un
tel que l'inégalité
[CENTER]
 < \eta_i)
[/CENTER]
entraîne [CENTER]
,f(x_2)) < \varepsilon)
.[/CENTER]
Soit
le plus petit de ces
; pour toute
on a donc, en remarquant que
appartient à une boule
:
[CENTER]
,f(x_2)) \leq 3\varepsilon)
[/CENTER]
dès que [CENTER]
 < \eta)
.[/CENTER]
Autrement dit
est également continu.
[CENTER]----------------------------[/CENTER]
Déjà, je ne comprends pas cette affirmation:
Comme est compact, on peut extraire de une sous-suite telle que, pour toutes et , on ait:
(1) [CENTER] au point .[/CENTER]
par