Théorème de d'Alembert-Gauss
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
par legeniedesalpages » 09 Déc 2007, 21:19
Bonsoir, j'ai un peu de mal avec la preuve de ce théorème:
Théorème: Soit
de degré
. Alors
admet une racine.
preuve:On considère l'application
tel que pour tout
,
 := |P(z)| = |\bigsum_{i=0}^na_i z^i|)
,
soit
avec
.
remarque 1: )
tend vers
si
tend vers
,
remarque 2: il existe
tel que
\leq \varphi(z))
quelque soit
.
Il faut montrer que
est un zéro de
.
Supposons (par l'absurde) que
\neq 0)
(ie
\neq 0)
), on considère le polynôme
=\frac{P(z_0+z)}{P(z_0)})
.
On a
[CENTER]
|\geq 1)
, pour tout
,
=1)
(1)[/CENTER]
on fait un développement limité de
en
:
=1+\alpha z^N+o(z^N))
, avec
.
.
On prend
}{N}),\ t>0)
,
= 1-t^N\rho+o(t^N))
ce qui contredit (1).
Alors voilà, déjà je ne vois pas pourquoi
i)
est un polynôme, enfin plus particulièrement pourquoi
)
est un polynôme,
ii) comment il a calculé son développement limité, et d'où sort ce
?
Merci pour vos indications.
par legeniedesalpages » 09 Déc 2007, 21:35
bonjour Rain,
oui d'accord je vois l'idée, j'aurais du y penser.
merci beaucoup :)
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